Bonnet–Myers 定理

Bonnet–Myers 定理是 Riemann 几何中的定理, 它表明, 对曲率有正下界的完备 Riemann 流形, 其直径有相应的上界.

1陈述与证明

定理 1.1 (Bonnet–Myers). 设自然数 $n>1$, $M$ 是连通的 $n$ 维完备 Riemann 流形, 其 Ricci 曲率有正下界 $\mathrm{Ric}\ge (n-1)\lambda >0$, 则其直径 $\mathrm{diam}M\le \pi /\sqrt{\lambda }$.

证明. 对任意 $0<l<\mathrm{diam}M$, 有两点 $p,q\in M$ 使 $d(p,q)=l$. 由完备性, 存在连接 $p,q$ 的测地线 $c:[0,l]\to M$. 取一组沿 $c$ 平行的正交标架场 $e_1(t),\dots ,e_n(t)$, 其中 $e_1(t)=\dot{c}(t)$. 再取光滑函数 $f:[0,l]\to \mathbb{R}$, 使得$$f(0)=f(l)=0,{\int }_0^l{f}^{\prime 2}=(\frac{\pi }{l}{)}^2{\int }_0^l{f}^2>0,$$如 $f(t)=\sin \left(\frac{\pi t}{l}\right)$. 考虑变分场 $V_i(t)=f(t)e_i(t)$, $i=2,\dots ,n$, 相应的能量记为 $E_i(s)$. 由第二变分公式, $$\begin{array}{rl}0\le \sum _{i=2}^n\frac{d^2{E}_i}{d{s}^2}{|}_{s=0}& =\sum _{i=2}^n{\int }_0^l(|{\dot{V}}_i{|}^2-⟨R(V_i,\dot{c})\dot{c},V_i⟩)dt\\ & =\sum _{i=2}^n{\int }_0^l(f^{\prime 2}-f^2⟨R(e_i,\dot{c})\dot{c},e_i⟩)dt\\ & ={\int }_0^l(n-1)f^{\prime 2}-f^2\sum _{i=2}^n\sec (e_i,\dot{c})dt\\ & ={\int }_0^l(n-1)f^{\prime 2}-f^2\mathrm{Ric}(\dot{c},\dot{c})dt\\ & \le [(n-1)(\frac{\pi }{l}{)}^2-(n-1)\lambda ]{\int }_0^l{f}^{2}dt,\end{array}$$得出 $l\le \pi /\sqrt{\lambda }$.

$\square$

推论 1.2. 设 $M$ 是连通的完备 Riemann 流形, 其 Ricci 曲率有正下界, 则 $M$ 是紧的, 且其基本群 ${\pi }_1(M)$ 有限.

证明. 由定理 1.1, 完备流形 $M$ 有界, 故紧. 考虑其万有覆叠 $\pi :\tilde{M}\to M$, 且 $\tilde{M}$ 自然是 Riemann 流形, $\pi$ 是局部微分同胚. $\tilde{M}$ 同样是 Ricci 曲率有正下界的完备流形, 亦是紧的, 所以 $\pi$ 是有限覆盖, 则 ${\pi }_1(M)$ 有限.

$\square$

命题 1.3. 定理 1.1 取得等号, 当且仅当 $M$ 等距同构于球面 $S^n(1/\sqrt{\lambda })$.

证明. (...)

$\square$

2相关概念

•

Ricci 曲率

术语翻译

Bonnet–Myers 定理 • 英文 Bonnet–Myers theorem