连通空间

在拓扑学中, 连通空间是指不能被 “一分为二” 的拓扑空间. 例如, 下图中左侧的方块是连通的, 右侧的两个圆盘 (作为一个空间) 是不连通的.

组成拓扑空间的每个连通的部分称为连通分支. 每个拓扑空间都是其连通分支的并, 但不一定同胚于它们的无交并.

1定义

定义 1.1 (连通空间). 拓扑空间 $X$ 称为连通空间, 如果下列条件成立:

•	如果开集 $U, V \subset X$ 满足 $X = U \cup V$ 且 $U \cap V = \emptyset$ , 那么 $U, V$ 中恰好一个是空集.

定义 1.1 中的条件也等价于以下任意一条:

•	$X$ 恰有两个既开又闭的子集: $\emptyset$ 和 $X$ 自身.

•	如果 $X$ 同胚于两个拓扑空间 $X_{1}, X_{2}$ 的不交并, 那么 $X_{1}, X_{2}$ 中恰有一个是空集.

注 1.2. 定义 1.1 表明, 空空间不是连通空间. 这是平凡对象不是单对象的一个例子.

定义 1.3 (连通分支). 设 $X$ 是拓扑空间. 在 $X$ 上定义等价关系 $\sim$ 如下:

•	$x \sim y$ 当且仅当存在连通的子空间 $V \subset X$ (定义 1.1), 使得 $x, y \in V$ .

该等价关系的每个等价类称为 $X$ 的一个连通分支.

连通分支一定是闭集, 但不一定是开集. 例如, 考虑有理数集 $Q$ , 带有其通常拓扑, 即序拓扑. 则 $Q$ 的连通分支都是单点集. 这也说明, 一个空间不一定同胚于其连通分支的无交并.

•	连通空间在连续映射下的像也是连通空间.

•	拓扑空间 $X$ 的连通分支都是 $X$ 中的闭集.

术语翻译

连通空间 • 英文 connected space • 德文 zusammenhängender Raum (m) • 法文 espace connexe (m) • 日文連結空間 (れんけつくうかん) • 韩文 연결 공간 (連結空間)

连通分支 • 英文 connected component • 德文 zusammenhängende Komponente (f) • 法文 composante connexe (f) • 日文連結成分 (れんけつせいぶん) • 韩文 연결 성분 (連結成分)