Chebyshev 函数

约定. 在本文中,

• 下标含 $p$ 的求和与求积中, $p$ 只取素数.
• $s$ 表示以 $\sigma$ 为横坐标、$t$ 为纵坐标的复数.
• $\rho$ 表示以 $\beta$ 为横坐标、$\gamma$ 为纵坐标的 $\zeta (s)$ 非平凡零点

Chebyshev 函数指数论函数 $\vartheta ,\psi$. 它们常被用于研究素数的分布.

1定义

定义 1.1 (Chebyshev $\vartheta$ 函数). 第一类 Chebyshev 函数指的是: $$\vartheta (x):=\sum _{p\le x}\log p.$$

定义 1.2 (Chebyshev $\psi$ 函数). 第二类 Chebyshev 函数指的是: $$\psi (x):=\sum _{k\in \mathbb{N}}\sum _{p^k\le x}\log p=\sum _{n\le x}\Lambda (n)=\sum _{p\le x}\lfloor {\log }_{p}x\rfloor \log p.$$其中的 $\Lambda$ 是 von Mangoldt 函数.

2性质

命题 2.1. 对正整数 $n$, 有$$\log \mathrm{lcm}(1,2,\cdots ,n)=\psi (n).$$

另外关于两个 Chebyshev 函数的联系, 依照定义立刻写出:

命题 2.2 (二者的联系). 关于两个 Chebyshev 函数, 我们有$$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{\frac{1}{n}}\right).$$注意到这个求和只包含有限项, 当 $n>{\log }_{2}x$ 时 $\vartheta (x^{1/n})=0$.

根据素数定理, 我们有:

命题 2.3 (渐近表现). $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\vartheta (x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\psi (x)}{x}=1.$$

如果 Riemann 假设成立, 那么误差项可以被很好地控制, 对一切 $\epsilon >0$, $x\to +\infty$ 时皆有$$\begin{array}{r}|\vartheta (x)-x|=O\left(x^{\frac{1}{2}+\epsilon }\right),\\ |\psi (x)-x|=O\left(x^{\frac{1}{2}+\epsilon }\right).\end{array}$$

然而另一方面, Erhard Schmidt 在 1903 年指出:

$$\psi (x)-x={\Omega }_{\pm }(\sqrt{x})$$

换言之某正常数 $K$, 使得存在无穷多正整数 $x$ 使$$\psi (x)-x<-K\sqrt{x}.$$同时也存在无穷多正整数 $y$ 使$$\psi (y)-y>K\sqrt{y}.$$这说明误差项不能优于 $O(\sqrt{x})$ 级别. 后来 Hardy 和 Littlewood 在 1916 年的论文 [Har16] 中将 ${\Omega }_{\pm }(\sqrt{x})$ 改进为 ${\Omega }_{\pm }(\sqrt{x}\log \log \log x)$. 这几个结论的证明均可参考 [Mon07, §15].

3与 Riemann zeta 函数零点的关系

参见: Riemann zeta 函数; Perron 公式

利用 Perron 公式, 可知当 $\kappa =1+(\log x{)}^{-1},2\le T\le x$ 时:

$$\psi (x)=\frac{-1}{2\pi i}{\int }_{\kappa -iT}^{\kappa +iT}\frac{x^s}{s}\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)\mathrm{d}s+O\left(\frac{x{\log }^{2}x}{T}\right)$$

根据这个结论, 我们总能找到 $T^{\prime }\in [T-1,T+1]$ 使得:

$$\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(\sigma +i{T}^{\prime })=O({\log }^{2}T)$$

对一切 $-1\le \sigma \le 2$ 成立, 所以有:

$${\int }_{\kappa -i{T}^{\prime }}^{-1-i{T}^{\prime }}+{\int }_{-1+i{T}^{\prime }}^{\kappa +i{T}^{\prime }}\ll \frac{x{\log }^{2}T}{T}\ll \frac{x{\log }^{2}x}{T}$$$${\int }_{-1-i{T}^{\prime }}^{-1+i{T}^{\prime }}\ll x^{-1}{\log }^{3}T\ll x^{-1}{\log }^{3}x$$

因此根据留数定理可知:

$$\psi (x)=x-\sum _{|\gamma |<T^{\prime }}\frac{x^{\rho }}{\rho }-\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(0)+O\left(\frac{x{\log }^{2}x}{T}\right)$$

再做简化, 便得:

定理 3.1 ($\psi (x)$ 的零点展开式). 当 $2\le T\le x$ 时总有: $$\psi (x)=x-\sum _{|\gamma |\le T}\frac{x^{\rho }}{\rho }+O\left(\frac{x{\log }^{2}x}{T}\right)$$

4相关概念

•	Chebyshev 不等式 (数论)
•	素数定理
•	Riemann $\zeta$ 函数
•	Dirichlet $L$ 函数

参考文献

[Har16]	Hardy, G. H., & Littlewood, J. E. (1916). Contributions to the theory of the riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes. Acta Mathematica, 41, 119–196. https://doi.org/10.1007/BF02422942
[Mon07]	Montgomery, H. L., & Vaughan, R. C. (2007). Multiplicative number theory I: Classical theory. Cambridge University Press.