Eckmann–Hilton 论证

Eckmann–Hilton 论证, 或称 Eckmann–Hilton 技巧、Eckmann–Hilton 原理, 阐述的道理是, 一个集合上如有两个相容的含幺原群结构, 那么它们相同, 且为交换幺半群.

1命题与论证

命题 1.1 (Eckmann–Hilton). 集合 $G$ 上有两种二元运算 $\cdot ,\ast$, 分别具有幺元 $1_{\cdot },1_{\ast }$, 且满足对任意 $a,b,c,d\in G$, $$(a\ast b)\cdot (c\ast d)=(a\cdot c)\ast (b\cdot d).$$则 $1_{\cdot }=1_{\ast }$, $\cdot =\ast$, 且它交换、结合.

证明.

•	取 $a=d=1_{\cdot }$, $b=c=1_{\ast }$, 即知 $1_{\cdot }=1_{\ast }$. 将其统一记作 $1$.
•	然后取 $b=c=1$, 即知 $\cdot =\ast$.
•	最后取 $a=d=1$ 知交换, 取 $b=1$ 知结合.

$\square$

2应用

该论证虽然简单, 但在代数拓扑中有些不平凡应用.

•	对拓扑群 $(G,\cdot ,1)$, 考虑其基本群 ${\pi }_1(G,1)$. 把 $\ast$ 取为基本群乘法, $\cdot$ 利用 $G$ 的运算取为$$(\alpha \cdot \beta )(t)=\alpha (t)\cdot \beta (t),$$由 Eckmann–Hilton 论证即知 ${\pi }_1(G,1)$ 交换.
•	取定整数 $n\ge 2$, 将同伦群 ${\pi }_n(X,x)$ 视为 $(I^n,\partial I^n)$ 到 $(X,x)$ 的映射同伦类, 把 $\cdot$ 和 $\ast$ 取为沿立方体 $I^n$ 的不同方向并置, 由 Eckmann–Hilton 论证即知 ${\pi }_n(X,x)$ 交换. 类似地, $n\ge 3$ 时相对同伦群交换.
•	有个经典的抽象代数习题: 群范畴中的群对象是交换群. 它也是这么个道理. 对群范畴中的群对象 $G\times G\to G$, 把 $\cdot$ 取为 $G$ 本身的乘法, $\ast$ 取为群对象结构, 立得 $G$ 是交换群, 群对象结构必须是 $G$ 本身的乘法.

3二维展示与评注

把 $a\cdot b$ 写作 $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$, $a\ast b$ 写作 $\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$, 则条件保证记号 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 无歧义. 以符号 $\cdot$ 和 $\ast$ 本身分别表示两个运算的幺元, 则 Eckmann–Hilton 论证可以写成

•

$$\cdot =\left(\begin{array}{c}\cdot \\ \cdot \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cdot & \ast \\ \ast & \cdot \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\ast & \ast \end{array}\right)=\ast$$

•

于是幺元相同, 以下以空位表示幺元. 由$$\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& \\ & b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}& a\\ b& \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}b& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}b& \\ & a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b\\ a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}& b\\ a& \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$$知 $\cdot =\ast$ 且交换, 由$$\left(\begin{array}{cc}a& \left(\begin{array}{cc}b& c\end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& \left(\begin{array}{c}b\\ c\end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ & c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)& c\end{array}\right)$$知结合.

此种写法与二阶同伦群交换的拓扑证明异曲同工.

Eckmann–Hilton 论证中, 条件实际上是个 “${\mathbb{E}}_2$-代数” 结构. 能得到如此强的结论, 原因大体在于, 在 $1$-范畴中工作时, ${\mathbb{E}}_2$ 直至 ${\mathbb{E}}_{\infty }$ 都和严格交换无异. 但在 $\infty$-范畴中则并非如此: 注意在以上展示中, $\cdot =\ast$ 且交换这一步的证明 “成环” 了, 表明虽然 $\cdot =\ast$, 但这个 “$=$” 并非唯一、典范, 故在 $\infty$-范畴中会出现微妙之处.

4相关概念

•	同伦群
•	${\mathbb{E}}_n$-代数

术语翻译

Eckmann–Hilton 论证 • 英文 Eckmann–Hilton argument