同伦群

带点拓扑空间 同伦群 是一系列的, 它们是 同伦不变量, 是基本群的推广: 基本群是 的映射同伦类构成的群, 同伦群则是 的映射同伦类构成的群.

拓扑空间的第 个同伦群 并不具有群结构, 只是一个带点集合, 也就是 的所有道路连通分支的集合. 第 个同伦群 就是基本群. 当 时, 同伦群 一定是 Abel 群.

1定义

同伦群

定义 1.1 (带点拓扑空间). 带点拓扑空间是指二元组 , 其中

拓扑空间.

是一个元素, 称为基点.

带点拓扑空间之间的映射要求把基点映到基点.

定义 1.2 (同伦群). 是带点拓扑空间 (定义 1.1). 它的第 同伦群 (作为集合) 定义为其中 可以是任何保持基点的连续映射, 是一个取定的点, 表示映射的保持基点的同伦.

下面, 对 , 我们定义 上的群结构.

定义 1.3 (同伦群的群结构). 是带点拓扑空间 (定义 1.1). 设 (定义 1.2), 其中 . 则 乘积定义为其中 表示单点并, 映射 赤道映到 的基点, 将上下半球分别保持定向同胚地映到单点并中的两个部分 .

时, 这种乘法定义了 上的群结构.

注 1.4. 时, 定义 1.3 中的映射 无法定义, 因为 的赤道是 .

相对同伦群

(...)

2例子

拓扑空间 的第 个同伦群 道路连通分支的集合.

Freudenthal 纬悬定理, 球面 的第 个同伦群是 . 一般来说, 球面同伦群十分难计算.

3性质

Puppe 序列

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Whitehead 定理

主条目: Whitehead 定理

同伦切除

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Hurewicz 定理

主条目: Hurewicz 定理

环路空间与解环

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4相关概念

稳定同伦群

弱同伦等价

术语翻译

同伦群英文 homotopy group德文 Homotopiegruppe (f)法文 groupe d’homotopie (m)拉丁文 caterva homotopiae (f)古希腊文 ὁμὰς ὁμοτοπίας (f)