Euler 恒等式

Euler 恒等式是一个复数中的恒等式:$${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }+1=0.$$它被一些人认为具有很强的数学美感.

1证明

通过数学分析

由指数函数、正弦函数、余弦函数的无穷级数形式, 可以得到$${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}=\cos (x)+\mathrm{i}\sin (x),\forall x\in \mathbb{C}.$$(即 Euler 公式) 这样代入 $x=\pi$, 可得$${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }=\cos (\pi )+\mathrm{i}\sin (\pi )=-1+0=-1.$$

不过上面的证明实际上隐藏了一些信息, 比如需要证明 $\cos$, $\sin$ 等三角函数的经典定义和它们的无穷级数定义相同等. 更多细节可以参见相关条目, 或讲义: 数学分析.

通过几何

(...)

2相关概念

•	$\mathrm{e}$
•	$\pi$
•	指数函数
•	三角函数
•	Euler 公式
•	de Moivre 公式
•	Lindemann–Weierstraß 定理

术语翻译

Euler 恒等式 • 英文 Euler’s identity • 德文 eulersche Identität • 法文 identité d’Euler • 拉丁文 Euleri identitas