Lindemann–Weierstraß 定理

Lindemann–Weierstraß 定理给出一个复数是超越数的充分条件.

1882 年, Lindemann 证明了该定理最早的形式: 若 $α$ 是非零代数数, 则 $e^{α}$ 是超越数. 后来 Weierstraß 在 1885 年将定理推广为了下面我们看到的形式.

这一部分需放到超越数论页面.

这一类的定理, 包括 Schneider–Lang 定理和 Baker 定理, 具有的一般形式被称为 Schanuel 猜想. 它们共同奠定了超越数论的基础.

1定理与证明
定理描述
准备工作
定理证明
2推论
3相关概念

1定理与证明

定理描述

我们给出 Lindemann–Weierstraß 定理的两种等价的陈述, 注意它们的区别:

定理 1.1. 如果 $v_{1}, v_{2}, ..., v_{r}$ 是 $Q$ 上线性无关的代数数, 那么 $e^{v_{1}}, e^{v_{2}}, ..., e^{v_{r}}$ 在代数数域上代数无关.

定理 1.2. 如果 $u_{1}, u_{2}, ..., u_{n}$ 是两两不同的代数数, 那么 $e^{u_{1}}, e^{u_{2}}, ..., e^{u_{n}}$ 在代数数域上线性无关.

首先我们证明这两个陈述等价:

证明. 假设定理 1.1 成立, 任给不同的代数数 $u_{1}, \dots, u_{n}$ , 取它们在 $Q$ 上张成的向量空间的一组基 $v_{1}, \dots, v_{r}$ , 通过除以它们在线性组合表示 $u_{i}$ 时出现的系数分母, 不妨设诸 $u_{i}$ 都是 $v_{i}$ 们的整系数线性组合. 现在 $e^{u_{i}}$ 们的 (非平凡) 线性相关式就是 $e^{v_{i}}$ 们的 (非平凡) 代数相关式. 因此 1.2 成立.

假设定理 1.2 成立, 任给线性无关的代数数 $v_{1}, \dots, v_{r}$ , 显然它们的 (非平凡) 代数相关的表达式可以写成它们一系列两两不同整系数线性组合 (对应幂次) $u_{1}, \dots, u_{n}$ 对应的指数 $e^{u_{1}}, \dots, e^{u_{n}}$ 的 (非平凡) 线性相关式. 因此 1.1 成立.

综上, 我们证明了两个定理的等价性.

$□$

因为线性相关性比代数相关性更好处理, 我们将证明定理 1.2.

准备工作

下面的引理是证明中技巧性最强的一部分, 巧妙地构造了多项式逼近. 同时也本质地用到了 $e^{x}$ 的 Taylor 展开中系数的性质.

引理 1.3. 设 $u_{1}, \dots, u_{n}$ 均为整系数多项式 $f (x) = a_{t} x^{t} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ 的根, 且 $a_{0} \neq = 0$ . 再记 $M := i = 1, \dots, n max {∣ u_{i} ∣, k = 0 \sum t ∣ a_{k} ∣∣ u_{i} ∣^{k}} .$ 现素数 $p$ 足够大, 具体来说满足: $p > max {∣ a_{0} ∣, 2∣ u_{1} ∣, 2∣ u_{2} ∣, ..., 2∣ u_{n} ∣} .$ 则存在正整数 $N_{p} \neq \equiv 0 (mod p)$ , 及次数严格小于 $tp$ 的整系数多项式 $g_{p} (x)$ , 使得对诸 $u_{i}$ 有理逼近 $∣ N_{p} e^{u_{i}} - p g_{p} (u_{i}) ∣ < \frac{2 M ^{p}}{( p - 1 )!}$ (1)成立.

证明.

证明. 取 $s h (x) N_{p} := tp + p - 1, := x^{p - 1} f (x)^{p} = j = p - 1 \sum s b_{j} x^{j}, := j = p - 1 \sum s \frac{j !}{( p - 1 )!} \cdot b_{j} .$ 显然 $N_{p}$ 是整数. 注意到 $p > ∣ a_{0} ∣$ 且 $a_{0} \neq = 0$ , 故 $N_{p} \equiv b_{p - 1} = a_{0}^{p} \equiv a_{0} (mod p)$ , 故 $p$ 不整除 $N_{p}$ .

对 $j = p - 1, \dots, s$ , Taylor 展开指数函数得 $j! \cdot b_{j} \cdot e^{x} = k = 0 \sum j - p b_{j} \frac{j ! x ^{k}}{k !} + k = j - p + 1 \sum j - 1 b_{j} \frac{j ! x ^{k}}{k !} + b_{j} x^{j} k = 0 \sum \infty \frac{x ^{k} j !}{( k + j )!} .$ (2)

注意到第一个求和的每一项的系数都能被 $p!$ 整除, 所以第一个求和是一个整系数多项式的 $p!$ 倍.

现将 (2) 式对 $j = p - 1, p, \dots, s$ 进行求和, $k = 0$ 到 $j - p$ 的第一个求和对每个 $j$ 都是一个整系数多项式的 $p!$ 倍, 所以得到的结果也是, 将其记为 $p! \cdot g_{p} (x)$ . 而 $de g g_{p} = tp - 1$ 故次数符合要求. 结合 $N_{p}$ 的定义我们得到: $(p - 1)! \cdot N_{p} e^{x} = j = p - 1 \sum s j! \cdot b_{j} e^{x} = p! g_{p} (x) + j = p - 1 \sum s k = 1 \sum p - 1 b_{j} \frac{j ! x ^{j - (p - k)}}{( j - ( p - k ))!} + j = p - 1 \sum s b_{j} x^{j} k = 0 \sum \infty \frac{x ^{k} j !}{( k + j )!} .$ (3)

注意到 $h (x)$ 在 $u_{1}, \dots, u_{n}$ 处均有 $p$ 重零点, 故 $h (u_{i}) = h^{'} (u_{i}) = \dots = h^{(p - 1)} (u_{i}) = 0$ . 此外依 $b_{j}$ 的定义有: $h^{(k)} (x) = j = p - 1 \sum s b_{j} \frac{j ! x ^{j - k}}{( j - k )!} .$ 该式对 $k = 1, ..., p - 1$ 求和, 即为 (3) 的第二个求和, 于是得到当 $x = u_{1}, \dots, u_{n}$ 时, 第二个求和为 0.

现在我们来估计当 $x = u_{i}$ 时候 (3) 的第三项求和的大小, 因为 $p > 2∣ u_{i} ∣$ 以及对 $h (x)$ 的两种写法用绝对值不等式: $∣ ∣ j = p - 1 \sum s b_{j} x^{j} k = 0 \sum \infty \frac{x ^{k} j !}{( k + j )!} ∣ ∣ \leq j = p - 1 \sum s ∣ b_{j} ∣∣ x^{j} ∣ (1 + k = 1 \sum \infty ∣ ∣ \frac{x ^{k}}{p ^{k}} ∣ ∣) < 2 j = p - 1 \sum s ∣ b_{j} ∣∣ x ∣^{j} \leq 2∣ x ∣^{p - 1} (k = 0 \sum t ∣ a_{k} ∣∣ x ∣^{k}) \leq 2 M^{p}$

最后我们利用刚才得到的所有结果, 立即得到 (1) 式.

$□$

另一方面我们需要将条件能提供的指数和加工成更好的形式, 于是引入一个代数引理, 它则用到了 $e^{x + y} = e^{x} e^{y}$ :

引理 1.4. 已知互不相同的代数数 $u_{1}, \dots, u_{n}$ 和非零的代数数 $v_{1}, \dots, v_{n}$ 使得 $k = 1 \sum n v_{i} e^{u_{i}} = 0$ 成立. 设 $K$ 为所有 $u_{i}$ 在 $Q$ 上的分裂域, 记 $G = Gal (K / Q)$ .

那么存在整数 $w_{0}, \dots, w_{m}$ 和互不相同的代数数 $q_{1}, \dots, q_{m}$ 满足 $w_{0} \neq = 0$ 且有 $w_{0} + k = 1 \sum m ⎝ ⎛ w_{k} η \in G \sum e^{η (q_{k})} ⎠ ⎞ = 0.$ (4)

证明.

证明. 为方便描述, 定义群 $K^{+}$ 是 $K$ 的加法群, 考虑群环 $K [K^{+}]$ , 首先我们证明它是一个整环. 考虑任意嵌入视 $K^{+}$ 为 $C$ 的子集, 定义其上按照先比较实部后比较虚部的字典序 “ $\geq$ ”, 其是全序且 $a \geq b$ 推出 $a + c \geq b + c$ . 于是对 $\sum_{i = 1}^{l} x_{i} y_{i}^{'}, \sum_{j = 1}^{m} z_{j} t_{j}^{'} \in K [K^{+}]$ 均非零, 其中 $y_{i}^{'}, t_{j}^{'} \in K^{+}$ 且 $x_{i}, z_{j}$ 非零. 设 $y_{1}^{'} > \dots > y_{l}^{'}, t_{1}^{'} > \dots > t_{m}^{'}$ , 则 $y_{1}^{'} + t_{1}^{'}$ 前的系数必不为 $0$ .

现在定义同态 $ϕ : K [K^{+}] \to C$ 为: $ϕ : K [K^{+}] ⟶ C ϕ (i = 1 \sum m x_{i} y_{i}^{'}) = i = 1 \sum m x_{i} e^{y_{i}} .$

则我们的条件等价于 $V := k = 1 \sum n v_{i} u_{i}^{'} \in ker (ϕ) .$

对于 $η \in G$ , 我们定义分别对 $K, K^{+}$ 部分作用的两个环的自同构 (不难验证): $σ (η) τ (η) : K [K^{+}] ⟶ K [K^{+}] σ (η) (i = 1 \sum m x_{i} y_{i}^{'}) = i = 1 \sum m η (x_{i}) y_{i}^{'} : K [K^{+}] ⟶ K [K^{+}] τ (η) (i = 1 \sum m x_{i} y_{i}^{'}) = i = 1 \sum m x_{i} (η (y_{i}))^{'}$

定义 $U := η \in G \prod σ (η) (i = 1 \sum n v_{i} u_{i}^{'}) \neq = 0.$ 因为 $V \in ker (ϕ)$ 故 $U \in ker (ϕ)$ . 对 $\forall η \in G$ , 容易验证有 $σ (η) U = U$ . 进而写开 $U = \sum_{i = 1}^{m} z_{i} t_{i}^{'}$ , 得知每个 $z_{i}$ 都是 Galois 群作用下不变的, 所以这些 $z_{i}$ 都在 $Q$ 中.

在此基础上定义 $W := η \in G \prod τ (η) (i = 1 \sum m z_{i} t_{i}^{'}) \neq = 0.$ 类似的, 我们知道 $W \in ker (ϕ)$ , 且对 $\forall η \in G$ , $τ (η) W = W$ . 写开 $W = \sum_{i = 1}^{l} c_{i} d_{i}^{'}$ , 我们注意到 $c_{i}$ 是一些有理数乘积的和, 所以 $c_{i} \in Q$ .

因为 $τ (η) W = W$ , 所以我们有 $W = \frac{1}{∣ G ∣} η \in G \sum i = 1 \sum l c_{i} (η (d_{i}))^{'} = i = 1 \sum l \frac{c _{i}}{∣ G ∣} η \in G \sum (η (d_{i}))^{'} .$

定义函数 $T (t^{'}) := η \in G \sum (η (t))^{'},$ 则 $W = i = 1 \sum l \frac{c _{i}}{∣ G ∣} T (d_{i}^{'}) .$ (5)

通过合并同类项不妨设 $i \neq = j$ 时 $T (d_{i}^{'}) \neq = T (d_{j}^{'})$ , 这也意味着若 $i \neq = j$ , 则 $\forall η \in G, η (d_{i}) \neq = d_{j}$ . 由 $W \neq = 0$ , 我们当然也可设所有的系数均不为 $0$ .

现在对 $\forall s^{'}, t^{'} \in K^{+}$ , 我们有显然的 $T (s^{'}) T (t^{'}) = η \in G \sum (η (s))^{'} η^{'} \in G \sum (η^{'} (t))^{'} = η \in G \sum T (s^{'} + η (t)^{'}) .$

利用该等式, 对 (5) 式乘以

T (- d_{1}^{'})

(为了获得 (4) 式中的

w_{0}

), 并依定义展开, 再通过乘一个整数将系数变为整数, 我们就得到了符合 (4) 式要求的形式.

$□$

定理证明

证明. 反设存在不全为 $0$ 的代数数 $v_{1}, \dots, v_{n}$ 使得 $k = 1 \sum n v_{i} e^{u_{i}} = 0$ 成立. 利用引理 1.4, 在相同的记号下, 我们得到 $w_{0} + k = 1 \sum m ⎝ ⎛ w_{k} η \in G \sum e^{η (q_{k})} ⎠ ⎞ = 0.$

取 $f (x)$ 为 $q_{1}, \dots, q_{m}$ 的最小多项式的乘积, 对 $f (x)$ 及 $η (q_{i}) (i = 1, \dots, m, η \in G)$ 应用引理 1.3, 我们得到引理中所说的 $g_{p} (x)$ 及 $N_{p}$ . 设 $f (x)$ 的次数为 $t$ , 由于诸 $η (q_{i})$ 均为代数数, 故存在正整数 $k$ , 使得它们与 $k$ 的乘积均为代数整数. 我们有 $k^{tp} N_{p} \cdot w_{0} + k^{tp} i = 1 \sum m (w_{i} j = 1 \sum r N_{p} e^{η_{j} (q_{i})}) = 0$

于是 $∣ ∣ k^{tp} N_{p} \cdot w_{0} + p i = 1 \sum m ⎝ ⎛ w_{i} η \in G \sum k^{tp} \cdot g_{p} (η (q_{i})) ⎠ ⎞ ∣ ∣ = ∣ ∣ (k^{tp} N_{p} w_{0} - k^{tp} N_{p} w_{0}) + k^{tp} i = 1 \sum m ⎝ ⎛ w_{i} η \in G \sum (p g_{p} (η (q_{i})) - N_{p} e^{η (q_{i})}) ⎠ ⎞ ∣ ∣ \leq k^{tp} i = 1 \sum m ⎝ ⎛ ∣ w_{i} ∣ η \in G \sum \frac{2 M ^{p}}{( p - 1 )!} ⎠ ⎞ = \frac{2 k ^{tp} m ∣ G ∣ L M ^{p}}{( p - 1 )!} .$

其中

M

同引理 1.3 中的定义,

L

是

∣ w_{i} ∣ (i = 0, ..., m)

的上界. 注意到当

p

趋向无穷大时右式趋向于

0

, 故左式只能是

0

. 注意到左式有两项, 当

p

大于

k

和

∣ w_{0} ∣

时, 第一项是不能被

p

整除的整数, 第二项

p

所乘者一方面在全体

η \in G

作用下不变, 另一方面是代数整数, 从而是一个整数. 这推出第二项是

p

的倍数矛盾! 至此, 我们完成了定理的证明.

$□$

2推论

推论 2.1. 对任意非零代数数 $x$ , $e^{x}$ 是超越数, 特别地, $e$ 是超越数.

证明. 在定理 1.1 中取

n = 1

并令

u = x

.

$□$

推论 2.2. 对任意非零代数数 $x$ , 任意三角函数 $f$ , $f (x)$ 是超越数.

证明. 注意到三角函数

f (x)

都可以表示为

e^{i x}

的分式.

$□$

推论 2.3. 如 $e^{x}$ 为不为 $1$ 的代数数, 则 $x$ 为超越数. 特别地, $π$ 是超越数.

证明. 前一个结论由反证法立得, 在定理 1.1 中取

n = 1

并令

u = i π

, 再注意到

i

是代数数, 所以

π

必然为超越数.

$□$

3相关概念

•	$π$
•	$e$
•	Schneider–Lang 定理
•	Baker 定理
•	Schanuel 猜想
•	超越数
•	超越数论

术语翻译

Lindemann–Weierstraß 定理 • 英文 Lindemann–Weierstraß theorem • 德文 Satz von Lindemann–Weierstraß • 法文 théorème de Lindemann–Weierstraß

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