Euler 齐次函数定理

Euler 齐次函数定理是分析学中的定理.

粗略地说, 该定理断言一个 ${\mathbb{R}}^n$ 上的函数是连续可微的正齐次函数当且仅当其满足一个特定的偏微分方程, 有时也将这个偏微分方程叫做齐次函数的 Euler 恒等式.

1定理与证明

定理 1.1 (Euler 齐次函数定理). 给定开集 $U\subset {\mathbb{R}}^n$. 若 $f:U\to \mathbb{R}$ 是一个连续可微的 $k$ 次正齐次函数, 则必满足$$kf(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\dots ,x_n).$$(1)反过来说, 偏微分方程 (1) 的每个最大解都给出唯一一个 $k$ 次正齐次函数.

证明. 先证充分性. 由正齐次性知$$f(t{x}_1,\dots ,t{x}_n)=t^{k}f(x_1,\dots ,x_n).$$(2)在等式两边对 $t$ 求导并由偏导数的链式法则得$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}(t{x}_1,\dots ,t{x}_n)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial (t{x}_i)}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial (t{x}_i)}(t{x}_1,\dots ,t{x}_n)=k{t}^{k-1}f(x_1,\dots ,x_n)=f(x_1,\dots ,x_n)\frac{\mathrm{d}\left(t^k\right)}{\mathrm{d}t},$$令 $t=1$ 即得 (1).

再证必要性. 若 $f$ 是 (1) 的一个最大解, 对充分接近 $1$ 的 $t$, $g(t):=f(t{x}_1,\dots ,t{x}_n)$ 是良定的. 此时有$$kg(t)=kf(t{x}_1,\dots ,t{x}_n)=\sum _{i=1}^n(t{x}_i)\frac{\partial f}{\partial (t{x}_i)}(t{x}_1,\dots ,t{x}_n)=t{g}^{\prime }(t),$$也即$$k\frac{\mathrm{d}t}{t}=\frac{\mathrm{d}g}{g}.$$(3)对 (3) 两边积分得$$g(t)=t^k\cdot g(1),$$也即 (2) 对充分接近 $1$ 的 $t$ 成立. 此时尽管 (1) 的解对应的 $g(t)$ 未必对一切正数 $t$ 有定义, 但总可利用 (2) 延拓 $f$ 使得延拓后的函数定义域为一个线性锥. 此即所求函数. 其唯一性由解的最大性给出.

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2应用

定理 2.1. 若可微函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是 $k$ 次齐次的, 则存在两个实数 $c_{-},c_{+}$ 使得$$f(x)=\{\begin{array}{l}{c}_{-}{x}^k,x<0\\ c_{+}{x}^k,x\ge 0.\end{array}$$

证明. 此时 (1) 化为$$k\frac{\mathrm{d}x}{x}=\frac{\mathrm{d}f}{f}.$$积分即得.

$\square$

定理 2.2. 若 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是一个连续可微的 $k$ 次正齐次函数, 则 $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ 是 $k-1$ 次正齐次函数.

证明. 在 (1) 两边对 $x_j$ 求偏导即得.

$\square$

术语翻译

Euler 齐次函数定理 • 英文 Euler’s homogeneous function theorem • 德文 Satz von Euler über homogene Funktionen • 法文 Théorème de la fonction homogène d’Euler