齐次函数

向量空间上的齐次函数是有倍数性质的函数: 如果向量乘以一个标量, 则新函数会是原函数再乘上标量的某次方倍.

齐次函数最重要的例子是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的齐次多项式.

1定义

定义 1.1 (齐次函数). 给定域 $\mathbb{k}$ 和 $\mathbb{k}$-向量空间 $V$,$W$. 如果存在整数 $s$, 使得映射 $f:V\to W$ 对任意 $\text{x}\in V$ 和非零数 $t\in \mathbb{k}$ 满足$$f(t\text{x})=t^{s}f(\text{x}),$$则称 $f$ 是 $\mathbf{s}$ 次齐次函数或满足齐次性, 同时称 $s$ 为 $f$ 的齐次数.

注 1.2. 有时不要求 $f:V\to W$ 的定义域 $V$ 是 $\mathbb{k}$-向量空间, 只要求 $V$ 是某个 $\mathbb{k}$-向量空间内的线性锥. 容易看出此时定义是良定的, 且是上述定义之推广.

注 1.3. 有时域 $\mathbb{k}$ 上有全序关系, 此时在定义 1.1 中置 “非零数 $t$” 为 “$t>0$” 可定义正齐次函数. 诚然, 齐次函数都是正齐次的.

注 1.4. 有时域 $\mathbb{k}$ 是赋范域, 也即带有绝对值, 此时在定义 1.1 中置 “$f(t\text{x})=t^{s}f(\text{x})$” 为 “$f(t\text{x})=|t{|}^{s}f(\text{x}),$” 可定义绝对齐次函数.

定义 1.5 (齐次多项式). 给定多项式环 $A[x_1,x_2,\dots ,x_n]$. 若对 $A[x_1,x_2,\dots ,x_n]$ 中元素$$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i_1,\dots ,i_n\ge 0}{a}_{i_1,\dots ,i_n}{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$$存在一个固定的自然数 $s$ 使得 $i_1+i_2+\cdots +i_n=s$ 对任意非零 $a_{i_1,\dots ,i_n}$ 都成立, 则称 $f$ 为 $\mathbf{s}$ 次齐次多项式.

注 1.6. 有时也称齐次多项式为代数形式, 不致混淆时简称形式. 例如二次型就是二次齐次多项式.

2性质

定理 2.1. 若两个齐次函数的积有定义, 则积为齐次函数, 齐次数为二者之和.

证明. 直接验证定义: 设 $f:V\to \mathbb{k},g:W\to \mathbb{k}$ 均为齐次函数, 齐次数分别为 $a,b$, 记 $h(\text{x},\text{y}):=f(\text{x})g(\text{y})$, 则有$$h(t\text{x},t\text{y})=f(t\text{x})g(t\text{y})=(t^{a}f(\text{x}))(t^{b}g(\text{y}))=t^{a+b}f(t\text{x})g(t\text{y})=t^{a+b}h(\text{x},\text{y}).$$$\square$

定理 2.2. 若两个齐次函数的商有定义, 则商为齐次函数, 齐次数为二者之差.

证明. 设 $f:V\to \mathbb{k}$ 是齐次函数, 齐次数为 $s$, 由定理 2.1, 只需验证 $g(\text{x}):=1/f(\text{x})$ 之齐次性并计算其齐次数. $$g(t\text{x})=\frac{1}{f(t\text{x})}=\frac{1}{t^s}\frac{1}{f(\text{x})}=t^{-s}g(\text{x}).$$$\square$

3例子

•	${\mathbb{R}}^n$ 上的 $s$ 次齐次多项式是 $s$ 次齐次函数.
•	线性映射都是 $1$ 次齐次函数.
•	$n$ 重线性映射都是 $n$ 次齐次函数.
•	全序域上的半范数是 $1$ 次正齐次函数, 但不是齐次函数. 特例是 $\mathbb{R}$ 上的绝对值函数.
•	${\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$ 上的最小值函数 $f(x_1,\dots ,x_n)=\min \{x_1,\dots ,x_n\}$ 和最大值函数都是 $1$ 次正齐次函数, 但都不是齐次函数.

4相关概念

•	Euler 齐次函数定理

术语翻译

(正) 齐次函数 • 英文 (positively) homogeneous function • 德文 (positiv) homogene Funktion (f) • 法文 fonction (positivement) homogène (f)

绝对齐次函数 • 英文 absolute homogeneous function • 德文 absolute homogene Funktion (f) • 法文 fonction absolument homogène (f)

齐次多项式 • 英文 homogeneous polynomial • 德文 homogene Polynom (n) • 法文 polynôme homogène (m)

(代数) 形式 • 英文 (algebraic) form • 德文 (algebraische) Form (f) • 法文 forme (algébrique) (f)