Galois 扩张 (同伦论)

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

同伦论中的 Galois 扩张是域论中相应概念在 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环或一般对称幺半范畴中交换代数上的推广.

1定义

定义 1.1 (有限 Galois 扩张). 设 $G$ 是有限群, $\mathcal{C}$ 是对称幺半范畴, $R$ 是 $\mathcal{C}$ 中交换代数, 带 $G$-作用, 换言之 $R\in \mathsf{CAlg}(\mathcal{C}{)}^{\mathrm{B}G}$. 称 $R$ 为 $\mathcal{C}$ 中 $\mathbf{G}$-Galois 代数, 指:

•	自然映射 $1_{\mathcal{C}}\to R^{hG}$ 是同构, 其中 $R^{hG}$ 表示 $R$ 的 $G$-不动点, 即 ${\lim }_{\mathrm{B}G}R$.
•	自然映射 $R{\otimes }_{\mathcal{C}}R\to {\prod }_{G}R$, $x\otimes y\mapsto (x\cdot gy{)}_{g\in G}$ 是同构.

在此基础上, 如函子 $-{\otimes }_{\mathcal{C}}R:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 反映同构, 则称 $R$ 忠实.

设 $G$ 是有限群, $\mathcal{C}$ 是对称幺半范畴, $k$ 是 $\mathcal{C}$ 中交换代数, $R$ 是交换 $k$-代数, 带 $G$-作用. 称 $k\to R$ 为 (忠实) $\mathbf{G}$-Galois 扩张, 指 $R$ 为 ${\mathsf{Mod}}_k(\mathcal{C})$ 中 (忠实) $G$-Galois 代数.

注 1.2. 以上定义隐含了相关的极限存在.

2性质

命题 2.1 (Rognes). 记号同定义 1.1 第一段, 并设 $\mathcal{C}$ 是加性对称幺半范畴. 则 $R$ 忠实当且仅当范数映射 $R_{hG}\to R^{hG}$ 是同构.

3例子

例 3.1. 取特征 $p$ 域 $k$. 考虑 $p$ 阶循环群 $C_p$ 平凡作用在 $k$ 上. 则在 $\mathsf{D}(k)={\mathsf{Mod}}_k(\mathsf{Sp})$ 中, $k^{h{C}_p}\to k$ 是 $C_p$-Galois 扩张. 它不忠实, 因为 $k^{t{C}_p}{\otimes }_{k^{h{C}_p}}k=0$.

术语翻译

Galois 扩张 • 英文 Galois extension