域论
域论起源于对解多项式方程的研究. 人们会研究在某个域上的多项式方程是否有解, 如果没有解则会将这些解形式地加入到这个域中, 而得到一个更大的域, 这就是域扩张的基本思想. 在现代数学中, 我们通常直接研究域扩张, 即域之间的同态 .
域扩张分为两类: 代数扩张与超越扩张. 大致来说, 对于代数扩张, 大域的所有元素都是小域的方程的根, 而对超越扩张则不然. 对于某一类域, 它的代数扩张只有它本身, 即其上的所有多项式方程均有根, 称为代数闭域, 而任何域都可以代数扩张到某个代数闭域中, 称为它的代数闭包. 代数闭域的条件也可以适当减弱, 而得到可分闭域、实闭域、 域等概念. 例如, 复数域是代数闭域, 实数域是实闭域, 而有限域与代数曲线上的有理函数域则是 域.
我们还会研究代数扩张可能满足的各种条件, 例如正规扩张、可分扩张等. 一类重要的扩张是 Galois 扩张, 它的研究称为 Galois 理论. 大致来说, Galois 理论建立了域扩张的自同构群的子群与子扩张的对应. 域的可分闭包是最大的 Galois 扩张, 它的 Galois 群称为绝对 Galois 群. 绝对 Galois 群的群上同调, 即 Galois 上同调是域的重要不变量, 域上的许多结构, 例如中心单代数等都可以由 Galois 上同调来分类.
超越扩张可以写为某个有理函数域 的代数扩张. 这类 的势即是超越度. 大致来说, 如果域扩张是某个代数簇的有理函数域, 则它的超越度就是这个代数簇的维数.
在某种意义上, 域是最简单的一类环. 在代数–几何对偶中, 域对应于单点空间, 环在它对应的空间某一点附近的一些性质可以由此点处剩余域的性质来反映. 例如, 整数环 的素谱中有许多闭点和一个一般点, 闭点的剩余域是有限域而一般点的剩余域是有理数域; 仿射空间在一般点处的剩余域则是有理函数域. 因此, 域论也是交换代数和代数几何中最基础的部分.
此外, 域论的发展也为经典问题带来了新视角. Galois 理论可以用来研究多项式方程的求解, 以及方程的根之间的关系, 例如三次方程与四次方程的求解以及五次及以上方程的不可根式解 (即 Galois 定理); 也可以来研究使用一些操作, 例如尺规作图、折纸能够构造出的结构, 从而证明三等分角等问题不可用尺规作图解.
术语翻译
域论 • 英文 field theory • 德文 Körpertheorie (f) • 法文 théorie des corps (commutatifs) (f) • 拉丁文 theoria corporum (f) • 古希腊文 θεορία σώματα (f)