Jacobson–Herstein 定理

Jacobson–Herstein 定理是环交换性的一种判别.

1定理与证明

定理 1.1. 环 $R$ 交换, 当且仅当对任意 $x,y\in R$, 都存在整数 $n>1$, 使得 $(xy-yx{)}^n=xy-yx$.

以下用 “交换子” 指形如 $xy-yx$ 的元素, “有限阶元” 指乘法有限阶元, 即某个次方等于 $1$ 的元素.

证明. 以 $J$ 记 $R$ 的 Jacobson 根. 如果每个交换子 $c$ 都属于 $J$, 则对 $n>1$ 都有 $1-c^{n-1}\in R^{\times }$, 所以只要 $c^n=c$ 就有 $c=0$; 故只需证每个交换子都属于 $J$. 由于$$J=\bigcap _{M是单左R\text{-}模}\mathrm{Ann}(M),$$故只需对每个单左 $R$-模 $M$ 证明每个交换子都属于 $\mathrm{Ann}(M)$, 即只需证每个 $R/\mathrm{Ann}(M)$ 都是交换环. 把 $R$ 换成 $R/\mathrm{Ann}(M)$, 可设 $\mathrm{Ann}(M)=0$, 即 $R$ 忠实作用在其单左模 $M$ 上. 以下说明这种情况下 $R$ 必须是除环.

记 $D={\mathrm{End}}_R(M)$, 则由 Schur 引理, $D$ 为除环. 如果 ${\dim }_{D}M>1$, 取 $\alpha ,\beta \in M$ 在 $D$ 上线性无关. 取 $f,g\in {\mathrm{End}}_D(M)$ 使得 $f(\alpha )=\beta$, $f(\beta )=0$, $g(\alpha )=\alpha$, $g(\beta )=0$. 由 Jacobson 稠密性定理, 存在 $x,y\in R$, 使得它们在 $\alpha ,\beta \in M$ 的作用分别与 $f,g$ 相同. 这样 $(xy-yx)\alpha =\beta$, $(xy-yx)\beta =0$, 显然不可能对 $n>1$ 有 $(xy-yx{)}^n=xy-yx$, 矛盾! 于是 ${\dim }_{D}M=1$, 再由 Jacobson 稠密性定理易知 $R={\mathrm{End}}_D(M)$ 为除环.

这样条件就是在说, 每个交换子要么为 $0$, 要么为有限阶元. 现在如果 $R$ 为特征 $0$, 交换子必须为 $0$: 如果 $xy-yx$ 是有限阶元, 那么 $2(xy-yx)=(2x)y-y(2x)$ 也是有限阶元, 显然不可能. 于是特征 $0$ 情形就证完了. 下设 $R$ 为特征 $p$.

现如存在有限阶元 $a$ 不在中心里, 则用以下 Herstein 引理取出非零交换子 $c$, 使得 $ca{c}^{-1}$ 是 $a$ 的幂但不等于 $a$. 由条件, $c$ 也有限阶, 于是 $a$ 和 $c$ 在 $R^{\times }$ 中生成非交换有限群. 这样 ${\mathbb{F}}_p[a,c]\subseteq R$ 是有限非交换子环, 与 Wedderburn 小定理矛盾! 故有限阶元都在中心里. 由条件, 这说明交换子都在中心里. 现如果有不交换的 $x,y\in R$, 由$$x(xy-yx)=x(xy)-(xy)x$$知 $x$ 是两个交换子相除, 也在中心里, 矛盾! 故 $R$ 交换.

$\square$

引理 1.2 (Herstein). 设 $D$ 为特征 $p$ 的除环, $a\in D$ 是有限阶元, 不在中心里. 则存在非零交换子 $c\in D$, 使得 $ca{c}^{-1}$ 是 $a$ 的幂, 但不等于 $a$.

证明. 记 $F={\mathbb{F}}_p[a]$, 则 $F\subseteq D$ 是有限子域, 设其阶为 $q$. 考虑 $D$ 上的 $F$-线性变换$$\lambda (x)=ax,\rho (x)=xa,\delta (x)=\lambda (x)-\rho (x)=ax-xa.$$由 Fermat 小定理, ${\lambda }^q-\lambda ={\rho }^q-\rho =0$. 由结合律, $\lambda$ 与 $\rho$ 交换, 故由 $q$ 是 $p$ 的幂有$${\delta }^q-\delta =(\lambda -\rho {)}^q-(\lambda -\rho )={\lambda }^q-{\rho }^q-\lambda +\rho =0.$$而 $F$ 上多项式 $T^q-T={\prod }_{t\in F}(T-t)$ 分裂为互异一次式的乘积, 故 $\delta$ 有特征子空间分解$$D=\underset{t\in F}{⨁}{D}_t,$$其中 $D_t=\{x\in D\mid \delta (x)=tx\}$. 由于 $a$ 不在中心里, $\delta \ne 0$, 它有非零特征值. 设 $t\in F^{\times }$ 是个非零特征值, $x\in D^{\times }$ 是个特征向量, 则 $ax-xa=tx$, 即 $xa{x}^{-1}=a-t$. 令 $c=ax-xa=tx$, 则$$ca{c}^{-1}=txa{x}^{-1}{t}^{-1}=t(a-t)t^{-1}=a-t\ne a.$$由于 $F$ 是有限域, 其乘法群循环, $a$ 和 $ca{c}^{-1}$ 显然在 $F^{\times }$ 中同阶, 故它们互相被对方生成, 即 $ca{c}^{-1}$ 是 $a$ 的幂. 此 $c$ 即为所求.

$\square$

以下显然推论的特殊情形常用作抽象代数习题:

推论 1.3. 如环 $R$ 满足对每个 $r\in R$ 都存在整数 $n>1$ 使得 $r^n=r$, 则 $R$ 交换.

术语翻译

Jacobson–Herstein 定理 • 英文 Jacobson–Herstein theorem • 德文 Satz von Jacobson–Herstein • 法文 théorème de Jacobson–Herstein