有限域

在代数学中, 有限域是指由有限个元素构成的域.

对素数 $p$ 而言, 域 ${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是最简单的有限域, 它有 $p$ 个元素. 其中的加法、乘法就是整数模 $p$ 的加法、乘法.

一般而言, 所有有限域都形如 ${\mathbb{F}}_{p^n}$, 其中 $p$ 是素数, $n$ 是正整数. 该有限域有 $p^n$ 个元素, 可以从 ${\mathbb{F}}_p$ 通过扩域得到.

例如, 考虑域$${\mathbb{F}}_3[\sqrt{-1}]=\{a+b\sqrt{-1}\mid a,b\in {\mathbb{F}}_3\}.$$可以验证它在自然的加法、乘法下构成域. 它有 $9$ 个元素, 因此这样就通过 ${\mathbb{F}}_3$ 的扩域得到了有限域 ${\mathbb{F}}_9$.

1定义

定义 1.1 (有限域). 有限域是含有有限个元素的域.

所有有限域都能以下面的方式给出.

定义 1.2 ($q$ 元域).

•	对素数 $p$, 环 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是域, 称为 $\mathbf{p}$ 元域, 记作 ${\mathbb{F}}_p$.

•	对素数 $p$ 及正整数 $n$, 记 $q=p^n$. 多项式 $x^q-x$ 在 ${\mathbb{F}}_p$ 上的分裂域含有 $q$ 个元素, 称为 $\mathbf{q}$ 元域, 记作 ${\mathbb{F}}_q$.

2性质

命题 2.1 (分类). 任意有限域必同构于上述 $q=p^n$ 元域. 此时域的特征为 $p$.

命题 2.2 (加法群与乘法群). 域 ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 的加法群是 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\oplus n}$, 它的乘法群是循环群 $\mathbb{Z}/(p^n-1)\mathbb{Z}$.

命题 2.3 (包含关系). 存在有限域间的嵌入 ${\mathbb{F}}_{q_1}\to {\mathbb{F}}_{q_2}$ 其中 $q_1=p_1^n$, $q_2=p_2^m$ 当且仅当 $p_1=p_2=p$ 且 $n\mid m$. 且此时 ${\mathbb{F}}_{p^m}$ 中具有唯一的 $p^n$ 元子域. 由此可无歧义地谈论域扩张 ${\mathbb{F}}_{p^m}/{\mathbb{F}}_{p^n}$.

命题 2.4 (代数闭包). 余极限 $\mathrm{colim}{\mathbb{F}}_{q^n}$ (其中 $n$ 取遍正整数, 其间的箭头为取定的某个嵌入映射) 给出了 ${\mathbb{F}}_q$ 的代数闭包 ${\overline{\mathbb{F}}}_q$.

命题 2.5 (自同构). 对 $p^n$ 元域 ${\mathbb{F}}_{p^n}$, 由 $x\mapsto x^p$ (称为 Frobenius 映射) 定义的映射 $F$ 是它的自同构. ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 的所有自同构为 $F^k$ 形式, 且 $F^n$ 为恒等映射.

命题 2.6 (完美性). ${\mathbb{F}}_q$ 是完美域.

命题 2.7 (Galois 群). 域扩张 ${\mathbb{F}}_{p^m}/{\mathbb{F}}_{p^n}$ 的 Galois 群是循环群 $\mathbb{Z}/\frac{m}{n}\mathbb{Z}$, 由上述 $F^n$ 生成. 由此有限域的绝对 Galois 群是 $\hat{\mathbb{Z}}$.

注 2.8 (类比). 可以将有限域类比于圆周 ${\mathbb{S}}^1$, 域扩张理论相应于覆叠空间理论. 例如嵌入 ${\mathbb{F}}_q\to {\mathbb{F}}_{q^n}$ 对应于覆叠 ${\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{S}}^1$, 它由 $x\mapsto x^m$ 给出.

3相关概念

•	局部域
•	拟有限域
•	一元域

术语翻译

有限域 • 英文 finite field • 德文 endlicher Körper • 法文 corps fini • 拉丁文 corpus finitum • 古希腊文 πεπερασμένον σῶμα