Laplace–Stieltjes 变换

约定. 在本文中,

• $s$ 表示以 $\sigma$ 为横坐标、以 $t$ 为纵坐标的复数
• $\mathcal{V}$ 表示全体定义在 ${\mathbb{R}}^{+}$ 上的有界变差函数

Laplace–Stieltjes 变换形如:

$$F(s)={\int }_{0^{-}}^{\infty }{e}^{-su}\mathrm{d}A(u)$$(1)

许多分析学中常用的构造都可以表示为 Laplace–Stieltjes 变换的形式, 例如 Laplace 变换、Mellin 变换、Dirichlet 级数等等.

1定义

定义 1.1. 对 $A\in \mathcal{V}$, 它的 Laplace–Stieltjes 变换是$$F(s)={\int }_{0^{-}}^{\infty }{e}^{-su}\mathrm{d}A(u)$$这里的积分是 Riemann–Stieltjes 积分.

2例子

Laplace–Stieltjes 与其它许多常用的构造有关系:

例 2.1 (与 Mellin 变换的关系). 定义 $A(u)=\tilde{A}(e^u)$, 我们就可以将 Laplace–Stieltjes 变换化为 Mellin–Stieltjes 变换: $$F(s)={\int }_{1^{-}}^{\infty }{x}^{-s}\mathrm{d}\tilde{A}(x)$$

例 2.2 (与 Laplace 变换的关系). 通过分部积分法, Laplace–Stieltjes 变换也可以被写成 Laplace 变换: $$\frac{F(s)}{s}={\int }_0^{\infty }{e}^{-su}A(u)\mathrm{d}u$$

对这个式子的两侧做 Laplace 逆变换就能得到 Perron 公式.

例 2.3 (与广义 Dirichlet 级数的关系). 若 $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ 为某复数列、$\{{\lambda }_n{\}}_{n\ge 1}$ 为严格单调递增的实数列. 定义$$B(u)=\sum _{{\lambda }_n\le u}{a}_n$$则其 Laplace–Stieltjes 变换恰好就是广义 Dirichlet 级数: $${\int }_{0^{-}}^{\infty }{e}^{-su}\mathrm{d}B(u)=\sum _{n\ge 1}{a}_n{e}^{-s{\lambda }_n}$$

因此适用于 Laplace–Stieltjes 变换的性质一样对 Dirichlet 级数和幂级数适用.

3性质

收敛性

定理 3.1. 若 $F(s)$ 在 $s=s_0$ 处收敛, 则其必然在区域 $\sigma >{\sigma }_0$ 内收敛, 在下列扇形区域$$S(\theta )=\{s\in \mathbb{C}:|\arg (s-s_0)|\le \theta \}(0\le \theta <\frac{\pi }{2})$$内一致收敛.

证明. 我们不妨设$$g(v)={\int }_y^v{e}^{-s_{0}u}\mathrm{d}A(u)$$则根据柯西准则可知对于一切 $\epsilon >0$ 均存在 $y=y(\epsilon )$ 使 $|g(v)|<\epsilon$ 对于一切 $v\ge y$ 都成立.

现在通过分部积分法, 便可发现对于所有 $x\ge y$: $${\int }_y^x{e}^{-su}\mathrm{d}A(u)={\int }_x^y{e}^{(s_0-s)u}\mathrm{d}g(u)$$接下来通过分部积分可知: $$\begin{array}{rl}\left|{\int }_y^x{e}^{-su}\mathrm{d}A(u)\right|& <\epsilon \left(e^{({\sigma }_0-\sigma )y}+|s-s_0|{\int }_y^x{e}^{({\sigma }_0-\sigma )u}\mathrm{d}u\right)\\ & \le \epsilon \left(1+\frac{|s-s_0|}{\sigma -{\sigma }_0}\right)e^{({\sigma }_0-\sigma )y}\le \epsilon \left(1+\sec \theta \right)\end{array}$$最后再对这个结论利用柯西准则, 即可证明结论.

$\square$

4相关概念

•	Riemann–Stieltjes 积分
•	广义 Dirichlet 级数
•	Laplace 变换

术语翻译

Laplace–Stieltjes 变换 • 英文 Laplace–Stieltjes transform • 德文 Laplace–Stieltjes-Transformation • 法文 transformation de Laplace–Stieltjes