张量

本文介绍的是线性代数中的张量. 关于微分几何中的张量, 请参见 “张量场”.

张量是向量的推广. 在 $n$ 维空间中, 一个向量 $v$ 由 $n$ 个分量 $v^1,\dots ,v^n$ 构成, 而一个 $(\mathbf{p},\mathbf{q})$-张量 $a$ 则由 $n^{p+q}$ 个分量构成 (命题 3.2), 这些分量通常记为$$a_{i_1,\dots ,i_p}^{j_1,\dots ,j_q}(i_1,\dots ,i_p,j_1,\dots ,j_q\in \{1,\dots ,n\}).$$特别地, 向量也就是 $(0,1)$-张量.

严格地说, 张量是指某些特定的张量积中的元素. 例如, 向量空间 $V$ 上的 $(p,q)$-张量就是张量积 $(V^{\ast }{)}^{\otimes p}\otimes V^{\otimes q}$ 中的元素 (定义 1.1). 换言之, $(p,q)$-张量大致就是 “吃掉 $p$ 个向量, 就能吐出 $q$ 个向量” 的对象 (命题 3.1).

1定义

对向量空间

定义 1.1. 对域 $\mathbb{k}$ 上的向量空间 $V$, 自然数 $p,q$, $V$ 上的 $(\mathbf{p},\mathbf{q})$-张量是张量积$$(V^{\ast }{)}^{\otimes p}\otimes V^{\otimes q}=\underset{p\text{个}}{\underbrace{V^{\ast }{\otimes }_{\mathbb{k}}\cdots {\otimes }_{\mathbb{k}}{V}^{\ast }}}{\otimes }_{\mathbb{k}}\underset{q\text{个}}{\underbrace{V{\otimes }_{\mathbb{k}}\cdots {\otimes }_{\mathbb{k}}V}}$$中的一个元素.

注 1.2. 对交换环 $A$ 上的有限生成投射模 $M$, 也可以类似地定义其上 $(p,q)$-张量, 且本文中所述结论也都成立.

由张量积的性质, 张量与多重线性映射具有一一对应关系, 见命题 3.1.

有时会给张量加上一些要求, 例如对称、交错等.

定义 1.3. 由定义, 有自然的商映射$$\begin{array}{c}{V}^{\otimes p}\twoheadrightarrow {\mathrm{Sym}}^p(V)\\ V^{\otimes p}\twoheadrightarrow {\wedge }^p(V).\end{array}$$称 $(p,0)$-张量 $T$ 为 $\mathbf{p}$ 次对称张量, 如果 $T$ 穿过 ${\mathrm{Sym}}^p(V)$; 称 $(p,0)$-张量 $T$ 为 $\mathbf{p}$ 次交错张量, 如果 $T$ 穿过 ${\wedge }^p(V)$.

可以由定义看出对称就是说交换两个分量后张量不变; 交错就是说只要一个向量组的两个分量相同, 则张量在此处取值为 $0$.

2例子

在给定的向量空间上,

•	$(0,0)$-张量是它的基域 $\mathbb{k}$ 中元素, 也称为标量;
•	$(0,1)$-张量是它的向量;
•	$(1,0)$-张量对应于它上面的线性函数;
•	$(1,1)$-张量对应于它到自身的线性映射;
•	$(2,0)$-张量对应于上面的双线性型.

3性质

命题 3.1 (与多重线性映射的关系). 域 $\mathbb{k}$ 上的向量空间 $V$ 上的 $(p,q)$-张量 $T$ 与多重线性映射$$\underset{p\text{个}}{\underbrace{V\times \cdots \times V}}\times \underset{q\text{个}}{\underbrace{V^{\ast }\times \cdots \times V^{\ast }}}\to \mathbb{k}$$一一对应.

通过此一对应, 可以将张量写成分量形式.

命题 3.2 (分量表示). 固定 $V$ 的一组基 $\{e_1,\dots ,e_n\}$, 它给出 $V^{\ast }$ 的对偶基 $\{e^1,\dots ,e^n\}$. 对 $(p,q)$-张量 $T$, 将它对应于相应的多重线性映射, 定义$$T_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}=T(e_{i_1},\dots ,e_{i_p},e^{j_1},\dots e^{j_n}),i_1,\dots ,i_p,j_1,\dots ,j_q\in \{1,\dots ,n\}$$则对任意向量$$v_j=\sum {\alpha }_j^i{e}_i,u^j=\sum {\beta }_i^j{e}^i$$可以计算出张量作用在其上的取值: $$T(v_1,\dots v_p,u^1,\cdots ,u^q)=\sum _{i,j}{\alpha }_1^{i_1}\cdots {\alpha }_p^{i_p}{\beta }_{j_1}^1\cdots {\beta }_{j_q}^q{T}_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}$$因此张量的性质完全被其分量所体现, 可以将张量记为 (在固定一组基后) $$T=(T_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}).$$

张量的的表现形式在向量空间的基的变换下具有等变性.

命题 3.3. 对向量空间 $V$ 的两组基 $\{e_1,\cdots ,e_n\}$, $\{e_1^{\prime },\cdots ,e_n^{\prime }\}$, 设相应的张量分量为 $T_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}$ 和 ${T^{\prime }}_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}$ 设相应的变换矩阵为 $A$, 即 $e_i^{\prime }=\sum A_i^j{e}_j$, $B=A^{-1}$, 则有$${T^{\prime }}_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}=\sum _{i,j}{T}_{i_1\dots i_p}^{j_1\dots j_q}{A}_1^{i_1}\cdots A_p^{i_p}{B}_{j_1}^1\cdots B_{j_q}^q.$$

张量的对称与交错也在分量形式中被体现.

命题 3.4. 固定一组 $V$ 的基 $\{e_1\cdots e_n\}$, $(p,0)$-张量 $T$ 是对称的, 当且仅当对任意置换 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_p$, $$T_{i_1\dots i_p}=T_{\sigma (i_1)\dots \sigma (i_p)}.$$$(p,0)$-张量 $T$ 是交错的, 当且仅当对任意置换 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_p$, $$T_{i_1\dots i_p}=\mathrm{sgn}(\sigma )T_{\sigma (i_1)\dots \sigma (i_p)}.$$($\mathrm{sgn}$ 表示置换的符号), 且只要 $i_1,\dots ,i_p$ 中有两个相同, 则 $T_{i_1,\dots ,i_p}$ 是 $0$.

4相关概念

•	张量积
•	标量
•	向量
•	旋量
•	张量场

术语翻译

张量 • 英文 tensor • 德文 Tensor (m) • 法文 tenseur (m) • 拉丁文 tensor (m) • 古希腊文 τανυστής (m)