Mertens 定理

在数论中, Mertens 定理一般指下面三个有关素数的渐近公式:

$$\sum _{p\le x}\frac{\log p}{p}=\log x+O(1)$$(1)

$$\sum _{p\le x}\frac{1}{p}=\log \log x+B_1+O\left(\frac{1}{\log x}\right)$$(2)

$$\prod _{p\le x}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\frac{e^{-\gamma }}{\log x}+O\left(\frac{1}{{\log }^{2}x}\right)$$(3)

其中 $B_1$ 被称为 Meissel–Mertens 常数.

虽然 Mertens 定理中的渐近公式都与素数有关, 但是它们可以不依赖素数定理而推导出来.

1Mertens 第一定理

若设 $T(x)=\log \lfloor x\rfloor !$, 则由 Stirling 公式可知 $x\ge 2$:

$$T(x)=x\log x-x+O(\log x)$$(4)

另一方面结合 von Mangoldt 函数的性质可知:

$$\begin{array}{rl}T(x)& =\sum _{kd\le x}\Lambda (d)=\sum _{n\le x}\Lambda (n)\lfloor \frac{x}{n}\rfloor \\ & =\sum _{n\le x}\Lambda (n)\frac{x}{n}+O\left\{\sum _{n\le x}\Lambda (n)\right\}\\ & =x\sum _{n\le x}\frac{\Lambda (n)}{n}+O(x)\end{array}$$

其中最后一个等号是由于 $\psi (x)=O(x)$, 见 Chebyshev 不等式. 将此式与 (4) 联立, 即得:

$$S_1(x)=\sum _{n\le x}\frac{\Lambda (n)}{n}=\log x+O(1)$$(5)

对于左侧, 利用 von Mangoldt 函数的性质我们知道:

$$\begin{array}{rl}\sum _{n\le x}\frac{\Lambda (n)}{n}-\sum _{p\le x}\frac{\log p}{p}& \le \sum _{p\le x}\log p\sum _{k\ge 2}\frac{1}{p^k}\\ & \le \sum _p\frac{\log p}{p(p-1)}=O(1)\end{array}$$

将这个结果与 (5) 结合便得 (1).

2Mertens 第二定理

设 $R(x)=S_1(x)-\log x$ 则根据 Riemann–Stieltjes 积分, 可知:

$$\begin{array}{rl}{S}_2(x)& =\sum _{n\le x}\frac{\Lambda (n)}{n\log n}={\int }_{2^{-}}^x\frac{\mathrm{d}S(u)}{\log u}\mathrm{d}u\\ & ={\int }_2^x\frac{\mathrm{d}u}{u\log u}+{\int }_{2^{-}}^x\frac{\mathrm{d}R(u)}{\log u}\\ & =\log \log x-\log \log 2+{\frac{R(u)}{u}|}_{2^{-}}^x-{\int }_2^{x}R(u)\mathrm{d}\left(\frac{1}{\log u}\right)\end{array}$$

因为 (5) 意味着 $R(x)=O(1)$, 所以我们就可以改写最后的积分, 得到:

$$S_2(x)=\log \log x+c+O\left(\frac{1}{\log x}\right)$$(6)

其中常数 $c$ 满足:

$$c=1-\log \log 2+{\int }_2^{\infty }\frac{R(u)}{u(\log u{)}^2}\mathrm{d}u$$

最后通过再将 $n=p^k,k\ge 2$ 得情况从和式中分离出去, 我们就能得到:

$$\sum _{p\le x}\frac{1}{p}=\log \log x+B_1+O\left(\frac{1}{\log x}\right)$$

其中

$$B_1=c-\sum _p\sum _{k\ge 2}\frac{1}{k{p}^k}=c+\sum _p\left[\frac{1}{p}+\log \left(1-\frac{1}{p}\right)\right]$$(7)

虽然上述的推导中仅仅说明了 $c$ 的存在性, 但事实上 $c$ 恰好也是一个熟知的常数.

Meissel–Mertens 常数的解析表达式

利用 Riemann $\zeta$ 函数的性质, 我们知道 $\delta \to 0^{+}$ 时:

$$\zeta (1+\delta )\sim {\delta }^{-1}\sim \frac{1}{1-e^{-\delta }}$$(8)

利用 Riemann–Stieltjes 积分, 我们知道:

$$\begin{array}{rl}\log \zeta (1+\delta )& =\sum _{n\ge 2}{n}^{-\delta }\frac{\Lambda (n)}{n\log n}={\int }_1^{\infty }{x}^{-\delta }\mathrm{d}{S}_2(x)\\ & ={\int }_0^{\infty }{e}^{-\delta t}\mathrm{d}{S}_2(e^t)=\delta {\int }_0^{\infty }{S}_2(e^t)e^{-\delta t}\mathrm{d}t\end{array}$$

另一方面当

$$\sum _{n\le x}\frac{1}{n}=\log x+\gamma +O\left(\frac{1}{x}\right)$$(9)

时, 运用 Riemann-Stieltjes 积分可知:

$$\log \frac{1}{1-e^{-\delta }}=\sum _{n\ge 1}\frac{e^{-\delta n}}{n}=\delta {\int }_0^{\infty }H(t)e^{-\delta t}\mathrm{d}t$$

两式相减, 便有:

$$\Delta =\log \zeta (1+\delta )-\log \frac{1}{1-e^{-\delta }}=\delta {\int }_0^{\infty }(S_2(t)-H(t))e^{-\delta t}\mathrm{d}t$$

现在代入 (6) 和 (9), 可知当 $\xi >0$ 时:

$$\begin{array}{rl}\Delta & =\delta {\int }_0^{\infty }[(\log \log (e^t)+c)-(\log t+\gamma )]e^{-\delta t}\mathrm{d}t\\ & +\delta {\int }_0^{\infty }O\left\{\min \left(1,\frac{1}{t}\right)\right\}{e}^{-\delta t}\mathrm{d}t\\ & =c-\gamma +O\left(\delta \xi \right)+O\left(\delta {\int }_{\xi }^{\infty }\frac{e^{-\delta t}}{t}\mathrm{d}t\right)\end{array}$$

通过分部积分法, 可知:

$${\int }_{\xi }^{\infty }\frac{e^{-\delta t}}{t}\mathrm{d}t=\frac{e^{-\delta \xi }}{\delta \xi }+{\int }_{\xi }^{\infty }\frac{e^{-\delta t}}{\delta t^2}\mathrm{d}t=O\left(\frac{1}{\delta \xi }\right)$$

因此当 $\xi ={\delta }^{-1/2}$ 时可知:

$$\Delta =c-\gamma +O({\delta }^{1/2})$$

再根据 (8), 我们知道 $\delta \to 0^{+}$ 时 $\Delta \to 0$, 所以 $c=\gamma$, 将此结果代入回 (7) 便有:

$$B_1=\gamma +\sum _p\left[\frac{1}{p}+\log \left(1-\frac{1}{p}\right)\right]$$(10)

3Mertens 第三定理

将 (10) 代入到 (2) 中, 可知:

$$\sum _{p\le x}\log \left(1-\frac{1}{p}\right)=-\log \log x-\gamma +O\left(\frac{1}{\log x}\right)$$

然后对两侧取指数, 便得 (3).

4应用

利用 (1), 我们可以证明下面这个强度仅次于素数定理的初等结论:

定理 4.1 (Chebyshev). 定义: $$\ell =\underset{x\to \infty }{\mathrm{liminf}}\frac{\vartheta (x)}{x},L=\underset{x\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{\vartheta (x)}{x}$$则有 $\ell \le 1\le L$.

证明. 利用 Riemann–Stieltjes 积分, 可知: $$\begin{array}{rl}\sum _{y<p\le x}\frac{\log p}{p}& ={\int }_y^x\frac{\mathrm{d}\vartheta (u)}{u}\\ & =\frac{\vartheta (x)}{x}-\frac{\vartheta (y)}{y}+{\int }_y^x\frac{\vartheta (u)}{u^2}\mathrm{d}u\\ & ={\int }_y^x\frac{\vartheta (u)}{u^2}\mathrm{d}u+O(1)\end{array}$$结合 $\ell$ 的定义, 可知对于所有 $\epsilon >0$ 均存在 $y>0$ 使 $\vartheta (u)>(\ell -\epsilon )u$ 对所有的 $u\ge y$ 均成立, 这意味着: $$\sum _{y<p\le x}\frac{\log p}{p}>(\ell -\epsilon )\log \frac{x}{y}+O(1)$$此时结合 (1) 即得 $\ell \le 1$. 运用类似方法便可得到 $L\ge 1$.

$\square$

5相关概念

•	Chebyshev 函数
•	Chebyshev 不等式 (数论)
•	Riemann $\zeta$ 函数
•	素数定理
•	筛法
•	von Mangoldt 函数

参考文献

[Har46]

Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1946). An Introduction to the Theory of Numbers.