紧空间

紧空间 (又称为紧致空间) 是一类拓扑空间, 其中每个序列 (以及推广的序列) 都必定会在某一点处堆积起来, 形成聚点 (命题 4.1). 紧空间是 Euclid 空间中有界闭集的推广.

1定义

定义 1.1 (开覆盖). 设 $X$ 是拓扑空间. $X$ 的一个开覆盖是指一族开子集 $\mathcal{U}=\{U_i\subset X{\}}_{i\in I}$, 其中 $I$ 是集合, 满足$$X=\bigcup _{i\in I}{U}_i.$$如果 $I$ 是有限集, 就称 $\mathcal{U}$ 是一个有限开覆盖.

开覆盖 $\mathcal{U}$ 的子覆盖是指一个子集 $J\subset I$ 给出的开覆盖 $\{U_i\subset X{\}}_{i\in J}$, 也就是说, $$X=\bigcup _{i\in J}{U}_i.$$

定义 1.2 (紧空间). 设 $X$ 是拓扑空间. $X$ 被称为紧空间, 如果 $X$ 的任意开覆盖 (定义 1.1) 都具有有限子覆盖 (定义 1.1).

2性质

命题 2.1 (绝对性). $X$ 是拓扑空间, $K\subseteq X$ 是其子集, 视为带子空间拓扑. 则 $K$ 是紧空间当且仅当 $X$ 中任一覆盖 $K$ 的开集族都有有限子族仍覆盖 $K$.

由以上命题, 我们常将紧空间称为紧集.

命题 2.2. $X,Y$ 是拓扑空间, $f:X\to Y$ 是连续映射, $K\subseteq X$ 是紧子集. 则 $f(K)$ 紧.

3例子

(...)

4等价刻画

通过收敛性

命题 4.1. 设 $X$ 是拓扑空间. 则下列等价:

•	$X$ 是紧空间.
•	$X$ 中所有真滤子都有收敛的真加细, 也就是说, 都有聚点.
•	$X$ 中所有网都有收敛的子网, 也就是说, 都有聚点.

(...)

5相关概念

•	仿紧空间
•	紧算子
•	紧对象
•	紧合映射
•	拟紧态射
•	紧合态射

术语翻译

紧空间 • 英文 compact space • 德文 kompakter Raum • 法文 espace compact • 拉丁文 spatium compactum • 古希腊文 συμπαγὴς χῶρος

紧 (形容词) • 英文 compact • 德文 kompakt • 法文 compact • 拉丁文 compactus • 古希腊文 συμπαγής

紧性 • 英文 compactness • 德文 Kompaktheit (f) • 法文 compacité (f) • 拉丁文 compactitas (f) • 古希腊文 συμπάγεια (f)