Haar 测度

Haar 测度是在局部紧拓扑群上定义的测度, 满足左或右平移的不变性, 可以证明它存在且在相差常数倍意义下唯一. 例如 Lebesgue 测度就是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Haar 测度.

Haar 测度可以认为是在局部紧拓扑群上自然的测度, 由此可以定义这些群上的积分理论, 这也是抽象调和分析的基础.

1定义

定义 1.1 (Haar 测度). 给定局部紧拓扑群 $G$, 设 $\mu$ 是 $G$ 上的非零正则 Borel 测度. 若 $\mu$ 在左平移下保持不变, 即对任意的 $x\in G$ 和 $A\in \mathcal{B}\left(G\right)$, $\mu (xA)=\mu (A)$, 则称 $\mu$ 是左 Haar 测度. 类似地, 若 $\mu$ 在右平移下不变, 则称 $\mu$ 是右 Haar 测度.

下一节的定理表明, 左 Haar 测度存在且在相差常数倍意义下唯一, 右 Haar 测度也如此. 不过左 Haar 测度和右 Haar 测度未必相差常数倍.

例 1.2.

(a)	${\mathbb{R}}^n$ 上的 Lebesgue 测度是左 Haar 测度, 同时也是右 Haar 测度.
(b)	为群 $G$ 装备离散拓扑 (全体子集均为开集), 此时计数测度同样也既是左 Haar 测度又是右 Haar 测度.
(c)	令 $\mathbb{T}$ 为全体模长为 $1$ 的复数, 装备它作为 $\mathbb{C}$ 的子空间所继承的拓扑, 以乘法为群运算, 那么 $\mathbb{T}$ 是一个紧致拓扑群; 考虑 $\mathcal{B}([0,2\pi ))$ 上的 Lebesgue 测度 $\lambda$, 定义函数 $f:[0,2\pi )\to \mathbb{T},f(\theta )={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$, 此时 $\lambda \circ f^{-1}$ 是 $\mathbb{T}$ 上的左 Harr 测度, 也是右 Haar 测度.

2定理叙述与证明

定理 2.1. 任给一个局部紧致群 $G$, 必定存在一个 $G$ 上的左 Haar 测度.

证明

定义 2.2 (记号引入). 对任意的局部紧致群, 取 $G$ 中一个紧致子集 $K$, 再取一个内部非空的子集 $V$. 此时 $\{x\mathring{V}{\}}_{x\in G}$ 构成 $K$ 的一个开覆盖, 由紧致性知存在有限个 $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in G$ 使得 $K\subseteq {\bigcup }_{i=1}^n{x}_{i}V$. 我们用 $\#(K:V)$ 表示满足上条件的最小的 $n$ (全体有限覆盖的基数的最小者); 显然 $\#(K:V)=0$ 当且仅当 $K=\varnothing$.

同时用 $\mathcal{C}$ 表示 $G$ 中全体紧集所成集, 从中取出一个内部非空的紧集 $K_0$; 用 $\mathcal{U}$ 表示 $e$ 的全体邻域所成集, 对任意的 $U\in \mathcal{U}$, 定义函数$$h_U:\mathcal{U}\to \mathbb{R},h(K)=\frac{\#(K:U)}{\#(K_0:U)}$$

引理 2.3. 对任意的 $U\in \mathcal{U}$, $K,K_1,K_2\in \mathcal{C}$ 和 $x\in G$, 我们有

(a)	$0\le h_U(K)\le \#(K:K_0)$
(b)	$h_U(K_0)=1$
(c)	$h_U(xK)=h_U(K)$
(d)	若 $K_1\subseteq K_2$, 则 $h_U(K_1)\le h_U(K_2)$
(e)	$h_U(K_1\cup K_2)\le h_U(K_1)+h_U(K_2)$
(f)	若 $K_1{U}^{-1}\cap K_2{U}^{-1}=\varnothing$, 则 $h_U(K_1\cup K_2)=h_U(K_1)+h_U(K_2)$

证明. 立即注意到不等式$$\#(K:U)\le \#(K:K_0)\#(K_0:U)$$只需考虑 $K\subseteq {\bigcup }_{i=1}^m{x}_i{K}_0$ 和 $K_0\subseteq {\bigcup }_{j=1}^n{y}_{j}U$ 蕴含 $K\subseteq {\bigcup }_{i=1}^m{\bigcup }_{j=1}^n{x}_i{y}_{j}U$ 即可; 两边同时除以 $\#(K_0:U)$ 即得 (a);

(b)(c)(d)(e) 是显然的; 下面证明当 $K_1{U}^{-1}\cap K_2{U}^{-1}=\varnothing$ 时, 有$$\#(K_1\cup K_2:U)\ge \#(K_1:U)+\#(K_2:U)$$令 $n=\#(K_1\cup K_2:U)$, 并设 $K_1\cup K_2\subseteq {\bigcup }_{i=1}^n{x}_{i}U$, 则知每个 $x_{i}U$ 至多与 $k_1,K_2$ 中一个相交 (若 $x_{i}U$ 同时与 $K_1,K_2$ 相交, 那么 $x_i$ 同时属于 $K_1{U}^{-1}$ 和 $K_2{U}^{-1}$, 矛盾), 这意味着我们可以分出两列 $\{y_i{\}}_{i=1}^j,\{z_i{\}}_{i=1}^k,j+k=n$, 使得 $K_1\subseteq {\bigcup }_{i=1}^j{y}_{i}U$, $K_2\subseteq {\bigcup }_{i=1}^k{z}_{j}U$; 这就证明了我们想要的, 于是 (f) 得证.

$\square$

对每个 $K\in \mathcal{C}$, 我们记 $I_K$ 为有界闭区间 $[0,\#(K:K_0)]$, 令 $X={\prod }_{K\in \mathcal{C}}{I}_K$, 装备积拓扑. 由 Tychnoff 定理我们知道积空间 $X$ 是紧致的; 由引理 (a) 我们知道 $h_U$ 必定在积空间中; 对 $e$ 的每个邻域 $V$ 取集合 $\{h_U:U\in \mathcal{U},U\subseteq V\}$, 并记 $S(V)$ 为这个集合在积空间 $X$ 中的闭包. 若 $V_1,V_2,\cdots ,V_n\in \mathcal{U}$, 且 $V={\bigcap }_{i=1}^n{V}_i$, 那么 $h_V\in {\bigcap }_{i=1}^{n}S(V_i)$, 这意味着闭集所成族 $\{S(V){\}}_{V\in \mathcal{U}}$, 满足有限交性质 (有限个元素交集非空). 根据积空间 $X$ 的紧致性, 我们知道 ${\bigcap }_{V\in \mathcal{U}}S(V)$ 非空, 取出一个元素 $h_{\bullet }\in {\bigcap }_{V\in \mathcal{U}}S(V)$, 这就是我们所需要的.

引理 2.4. 对任意的 $x\in G$, $K,K_1,K_2\in \mathcal{C}$, 函数 $h_{\bullet }$ 满足

(a)	$0\le h_{\bullet }(K)$
(b)	$h_{\bullet }(\varnothing )=0$
(c)	$h_{\bullet }(K_0)=1$
(d)	$h_{\bullet }(xK)=h_{\bullet }(K)$
(e)	若 $K_1\subseteq K_2$, 则 $h_{\bullet }(K_1)\le h_{\bullet }(K_2)$
(f)	$h_{\bullet }(K_1\cup K_2)\le h_{\bullet }(K_1)+h_{\bullet }(K_2)$
(g)	若 $K_1\cap K_2=\varnothing$, 那么 $h_{\bullet }(K_1\cup K_2)=h_{\bullet }(K_1)+h_{\bullet }(K_2)$

证明. 回想积空间 $X$ 是一族 $\mathcal{C}$ 上特定的函数, 装备的拓扑使得对 $G$ 的每个紧致子集 (因为指标集就是 $\mathcal{C}$) 投影函数 $h\mapsto h(K)$ 连续, 从而函数$$h\mapsto h(K_1)+h(K_2)-h(K_1\cup K_2)$$是连续的, 根据引理 (e) 我们知道上述映射在每点 $h_U$ 是非负的, 从而在每个闭集 $S(V)$ 上是非负的; 特别地, 在点 $h_{\bullet }$ 处非负, 于是我们证明了 $(f)$.

(a) 是显然的, (b)(c)(d)(e) 可仿照上述过程进行证明, 现在让我们来看 (g). 假设 $K_1,K_2$ 是 $G$ 的两个紧致子集, 那么有开集 $U_1,U_2$ 使得 $K_1\subseteq U_1,K_2\subseteq U_2$, 同时有 $e$ 的邻域 $V_1,V_2$ 使得 $K_1{V}_1\subseteq U_1,K_2{V}_2\subseteq U_2$. 于是 $K_1{V}_1$ 和 $K_2{V}_2$ 不交, 从而对于满足 $U\subseteq V^{-1}$ 的 $U$ 我们有$$h_U(K_1\cup K_2)=h_U(K_1)+h_U(K_2)$$从而我们上面定义的映射在 $S^{-1}(V)$ 上恒为 $0$, 由于 $h_{\bullet }\in S(V^{-1})$, 我们便知道 (g) 确实为真.

$\square$

现在我们终于可以来证明这个定理了:

证明. 现在在 $G$ 的拓扑上定义函数$${\mu }^{\ast }(U)=\sup \{h_{\bullet }:K\subseteq U,K\in \mathcal{C}\}$$扩张到幂集 $2^G$: $${\mu }^{\ast }(A)=\inf \{{\mu }^{\ast }(U):A\subseteq U,U\text{ is open}\}$$显然 ${\mu }^{\ast }$ 非负, 单调, 且在 $\varnothing$ 处取值为 $0$.

接下来验证 ${\mu }^{\ast }$ 是可数次加性的, 根据定义, 我们只需验证对任一列开集 $\{U_i\}$, 有$${\mu }^{\ast }\left(\bigcup _i{U}_i\right)\le \sum _i{\mu }^{\ast }(U_i)$$对开集列 $\{U_i\}$, 取一紧集 $K\subseteq {\bigcup }_i{U}_i$, 必存在自然数 $n$ 使得 $K\subseteq {\bigcup }_{i=1}^n{U}_i$, 进一步的, 有紧集 $K_1\subseteq U_1,\cdots ,K_n\subseteq U_n$, 且 $K={\bigcup }_{i=1}^n{K}_i$, 这意味着$$h_{\bullet }(K)\le \sum _{i=1}^n{h}_{\bullet }(K_i)\le \sum _{i=1}^n{\mu }^{\ast }(U_i)\le \sum _{i=1}^{\infty }{\mu }^{\ast }(U_i)$$于是我们证明了次可数加性.

最后一项工作就是来验证 $G$ 中每个 Borel 集都是 ${\mu }^{\ast }$-可测的, 这一点可由不等式$${\mu }^{\ast }(V)\ge {\mu }^{\ast }(V\cap U)+{\mu }^{\ast }(V\cap U^c)$$得到, 其中 $U,V$ 都是 $G$ 的开集 (熟悉如何证明外测度的全体可测子集成一 sigma-代数的读者可以看出这一步应当和外测度的单调性一起看).

那么我们来验证上述不等式确实成立: 对任意的 $\epsilon >0$, 取紧集 $K\subseteq U\cap V$ 使得$$h_{\bullet }(K)>{\mu }^{\ast }(V\cap U)-\epsilon$$再取紧集 $L\subseteq V\cap K^c$ 使得 $h_{\bullet }(L)>{\mu }^{\ast }(V\cap K^c)-\epsilon$, $K,L$ 是不相交的, 注意到 $V\cap U^c\subseteq V\cap K^c$, 我们有$$h_{\bullet }(L)>{\mu }^{\ast }(V\cap U^c)-\epsilon$$由引理立得$$h_{\bullet }(K\cup L)=h_{\bullet }(K)+h_{\bullet }(L)\ge {\mu }^{\ast }(V\cap U)+{\mu }^{\ast }(V\cap U^c)-2\epsilon$$这样我们就证明了每个 Borel 集都是 ${\mu }^{\ast }$-可测的, 从而 $\mu ={\mu }^{\ast }{\upharpoonright }_{\mathcal{B}\left(G\right)}$ 是一个 Borel 测度.

下面来证明 $\mu$ 是正则的, 注意到若紧集 $K\subseteq U$, U 是开集, 那么 $h_{\bullet }(K)\le \mu (U)$, 根据定义有 $h_{\bullet }(K)\le \mu (K)$. 进一步地, 若 $U$ 的闭包是紧致的, 那么对 $U$ 的每个紧致子集, 有 $h_{\bullet }(L)\le h_{\bullet }(\overline{U})$, 于是 $\mu (K)\le \mu (U)\le h_{\bullet }(\overline{U})$. 这样, 我们证明了 $\mu$ 的内正则性和外正则性. 同时不难验证 $\mu$ 非零测度且左平移不变, 这就完成本定理的证明.

$\square$

术语翻译

左 Haar 测度 • 英文 left Haar measure

左平移不变 • 英文 left translation invariant