Stokes 定理

Stokes 定理是微积分基本定理在高维空间的推广. 它说明微分形式 $\omega$ 在光滑流形 $M$ 的边界上的积分等于其外微分在 $M$ 上的积分:$${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}\omega .$$

1定理与证明

定理 1.1 (Stokes). 设 $M$ 是定向带边 $n$ 维光滑流形, $\omega$ 是 $M$ 上的紧支 $(n-1)$-形式. 则$${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}\omega .$$特别地, 如果 $\partial M=\varnothing$, 则 ${\int }_{M}d\omega =0$.

证明. 取 $M$ 的坐标图册 $\{U_i{\}}_{i\in I}$, 其中每个开集都同胚于 $n$ 维空间或者闭半空间. 取支于其上的单位分解, 即 $M$ 上一族非负光滑函数 $\{{\phi }_i{\}}_{i\in I}$, 满足 ${\phi }_i$ 支集紧、包含于 $U_i$, $M$ 上每点都有邻域上面只有有限个 ${\phi }_i$ 非零, 以及 ${\sum }_{i\in I}{\phi }_i=1$. 令 ${\omega }_i={\phi }_i\omega$, 则 ${\sum }_{i\in I}{\omega }_i=\omega$. 又由于 $\omega$ 紧支, 只有有限个 ${\omega }_i$ 非零, 于是只需对每个 ${\omega }_i$ 证明定理. 这样便只需证 $M$ 是 $n$ 维空间和闭半空间的情形. 以下分别证之.

$M={\mathbb{R}}^n$. 此时写出 $\omega ={\sum }_{i=1}^n{f}_{i}d{x}_1\wedge \cdots \wedge \widehat{d{x}_i}\wedge \cdots \wedge d{x}_n$, 其中 $\hat{}$ 表示不出现. 只需对求和中每一项证明定理; 置换坐标可设只有第一项, 即 $\omega =fd{x}_2\wedge \cdots \wedge d{x}_n$. 此时 $d\omega =\frac{\partial f}{\partial x_1}d{x}_1\wedge \cdots \wedge d{x}_n$. 由 Fubini 定理和微积分基本定理, $$左边={\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}\left({\int }_{\mathbb{R}}\frac{\partial f}{\partial x_1}d{x}_1\right)d{x}_2\cdots d{x}_n={\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}f(\cdot ,x_2,\dots ,x_n){|}_{-\infty }^{+\infty }d{x}_2\cdots d{x}_n={\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}0d{x}_2\cdots d{x}_n=0=右边,$$因为 $f$ 紧支.

$M=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid x_1\le 0\}$. 此时仍写 $\omega ={\sum }_{i=1}^n{f}_{i}d{x}_1\wedge \cdots \wedge \widehat{d{x}_i}\wedge \cdots \wedge d{x}_n$. 仍只需对求和中每一项证明定理. 后 $n-1$ 项的计算和上一段一样是 $0$. 对第一项, 由 Fubini 定理和微积分基本定理, $$左边={\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}\left({\int }_{-\infty }^0\frac{\partial f}{\partial x_1}d{x}_1\right)d{x}_2\cdots d{x}_n={\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}f(\cdot ,x_2,\dots ,x_n){|}_{-\infty }^{0}d{x}_2\cdots d{x}_n={\int }_{0\times {\mathbb{R}}^{n-1}}fd{x}_2\cdots d{x}_n=右边,$$由于带边流形的定向约定.

$\square$

2特例

Newton–Leibniz 公式

在 Stokes 定理 (定理 1.1) 中取 $M=[a,b]$, 可以得到光滑版本的 Newton–Leibniz 公式:$${\int }_a^b{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a).$$

Green 公式

设 $C$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中一条光滑简单闭曲线, 由 Jordan 曲线定理知它围成一个区域 $D$. 设 $f,g$ 是定义在 $\bar{D}$ 上的光滑函数. 在 Stokes 定理 (定理 1.1) 中取 $M=D$, $\omega =fdx+gdy$, 得到光滑版本的 Green 公式:$${\int }_C(fdx+gdy)={\int }_D\left(\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\right)dxdy.$$其中 $C$ 的定向取成绕逆时针的定向.

Kelvin–Stokes 公式

设 $\Sigma$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中一个可定向的光滑曲面, 带有边界 $C$. 设 $P,Q,R$ 是定义在 $\Sigma$ 上的光滑函数. 在 Stokes 定理 (定理 1.1) 中取 $M=\Sigma$, $\omega =Pdx+Qdy+Rdz$, 得到 Kelvin–Stokes 公式:$${\int }_C(Pdx+Qdy+Rdz)={\int }_{\Sigma }\left(\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\right).$$其中 $\Sigma$ 的定向和 $C$ 的定向满足右手定则.

Ostrogradsky–Gauß 公式

设 $\Sigma$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一个光滑简单闭曲面, 由 Jordan–Brouwer 分离定理知它围成一个区域 $\Omega$. 设 $P,Q,R$ 是定义在 $\bar{\Omega }$ 上的光滑函数. 在 Stokes 定理 (定理 1.1) 中取 $M=\Omega$, $\omega =Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$, 得到 Ostrogradsky–Gauß 公式:$${\int }_{\Sigma }\left(Pdydz+Qdzdx+Rdzdx\right)={\int }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz.$$其中 $\Sigma$ 的定向由外法向量给出.

散度定理

用 Hausdorff 测度, 或者更一般的 Riemann 体积形式, 可以把 Green 公式和 Ostrogradsky–Gauß 公式写成更好看的形式, 并且推广到一般的 Riemann 流形上, 这就是散度定理.

定理 2.1 (散度定理). $M$ 是定向 $n$ 维 Riemann 流形, $X$ 是其上光滑向量场, 则$${\int }_M\mathrm{div}X={\int }_{\partial M}⟨X,\mathbf{n}⟩.$$其中 $\mathbf{n}$ 是 $\partial M$ 的外法向量, $\mathrm{div}X$ 是 $X$ 的散度.

3相关概念

•	Poincaré 引理
•	de Rham 定理
•	Cauchy 积分公式