Waldhausen 范畴

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

Waldhausen 范畴是一大类能定义代数 $K$ 理论的范畴, 是余纤维化结构的抽象. 它起初由 Friedhelm Waldhausen 于 1983 年引入, 尔后由 Clark Barwick 于 2013 年推广到 $(\infty ,1)$-范畴.

1定义

Waldhausen 定义的概念在 $(\infty ,1)$-范畴上有两种版本, 以下依次介绍.

定义 1.1 (带余纤维化的范畴). 带余纤维化的范畴, 又称 Waldhausen 范畴, 指二元组 $(\mathcal{C},\mathrm{cof}\mathcal{C})$, 其中 $\mathcal{C}$ 是范畴, $\mathrm{cof}\mathcal{C}\subseteq \mathcal{C}$ 是宽子范畴, 其中态射称为余纤维化, 常记作 $\rightarrowtail$, 满足:

•	$\mathcal{C}$ 有零对象, 记作 $0$.
•	对任意 $x\in \mathcal{C}$, $0\to x$ 是余纤维化.
•	对任意余纤维化 $z\rightarrowtail x$ 以及任意态射 $z\to w$, 推出 $y=x{\bigsqcup }_{z}w$ 存在, 且 $w\to y$ 也是余纤维化. 简而言之, 余纤维化对推出封闭. 此种推出图表称为粘连方块. 当 $w=0$ 时, 也记 $x{\bigsqcup }_{z}0$ 为 $x/z$, 称序列 $z\rightarrowtail x\to x/z$ 为余纤维列.

带余纤维化的范畴之间的正合函子指的是保持零对象、余纤维化、粘连方块的函子. 带余纤维化的小范畴沿正合函子构成范畴, 记作 $\mathsf{Wald}$.

定义 1.2 (带余纤维化、弱等价的范畴). 带余纤维化、弱等价的范畴指三元组 $(\mathcal{C},\mathrm{cof}\mathcal{C},W)$, 其中 $(\mathcal{C},\mathrm{cof}\mathcal{C})$ 是带余纤维化的范畴, $W\subseteq \mathcal{C}$ 是宽子范畴, 其中态射称为弱等价, 满足如交换图$$wzx{w}^{\prime }{z}^{\prime }{x}^{\prime }$$的纵向箭头都是弱等价, 横向箭头中向右者都是余纤维化, 则自然映射 $x{\bigsqcup }_{z}w\to x^{\prime }{\bigsqcup }_{z^{\prime }}{w}^{\prime }$ 也是弱等价. 简而言之, 弱等价可以粘连.

带余纤维化、弱等价的范畴之间的正合函子指的是保持零对象、余纤维化、粘连方块、弱等价的函子.

注 1.3. 定义 1.2 中没有对弱等价提以下三选二性质: 对 $\mathcal{C}$ 中态射 $f:x\to y$ 和 $g:y\to z$, 如 $f$、$g$、$g\circ f$ 三者中有两者属于 $W$, 则第三者也属于 $W$. 故严格来说 $(\mathcal{C},W)$ 不是弱等价范畴.

注 1.4. Waldhausen 定义的概念是定义 1.2 中 $\mathcal{C}$ 是 $1$-范畴的情形.

注 1.5. 如 $(\mathcal{C},\mathrm{cof}\mathcal{C})$ 是带余纤维化的范畴, 取 $W$ 为 $\mathcal{C}$ 的对象群胚, 即只以同构为弱等价, 就得到带余纤维化、弱等价的范畴.

注 1.6. 如 $(\mathcal{C},\mathrm{cof}\mathcal{C},W)$ 是带余纤维化、弱等价的范畴, 则其局部化 $(\mathcal{C}[W^{-1}],\mathrm{cof}\mathcal{C}[W^{-1}])$ 是带余纤维化的范畴, 其中 $\mathrm{cof}\mathcal{C}[W^{-1}]$ 取为 $\mathrm{cof}\mathcal{C}$ 在 $\mathcal{C}[W^{-1}]$ 中生成的宽子范畴.

注 1.7. 这些概念显然可以对偶, 其对偶概念分别称为带纤维化的范畴、带纤维化、弱等价的范畴. 余纤维化的对偶概念称为纤维化, 弱等价的对偶概念仍称为弱等价, 粘连方块的对偶概念称为纤维方块.

2性质

3例子

例 3.1. 如 $\mathcal{C}$ 是有零对象和有限余极限的范畴, 则 $(\mathcal{C},\mathcal{C})$ 是带余纤维化的范畴.

例 3.2. 对正合范畴 $(\mathcal{C},\mathrm{cof}\mathcal{C},\mathrm{fib}\mathcal{C})$, $(\mathcal{C},\mathrm{cof}\mathcal{C})$ 是带余纤维化的范畴, $(\mathcal{C},\mathrm{fib}\mathcal{C})$ 是带纤维化的范畴.

例 3.3. 考虑带基点有限集的范畴$${\mathsf{Fin}}_{\ast }=(\{⟨n⟩=\{0,1,\dots ,n\}\mid n\in \mathbb{Z}\},\{f:⟨n⟩\to ⟨m⟩\mid f(0)=0\}),$$取余纤维化为集合单射. 不难发现它作为带余纤维化的范畴为一元生成自由. 换言之, 对带余纤维化的范畴 $(\mathcal{C},\mathrm{cof}\mathcal{C})$, 映射$$\begin{gathered} {\mathsf{Fun}}_{\mathsf{Wald}}({\mathsf{Fin}}_{\ast },\mathcal{C})\to \mathcal{C} \\ F\mapsto F(⟨1⟩) \end{gathered}$$是范畴等价.

4相关概念

•	Waldhausen $S$ 构造
•	代数 $K$ 理论
•	正合范畴
•	心定理

术语翻译

Waldhausen 范畴 • 英文 Waldhausen category • 德文 Waldhausen-Kategorie • 法文 catégorie de Waldhausen