Waldhausen 构造

约定. 在本文中,

Waldhausen 构造代数 理论的具体构造中适用范围最广者, 由 Friedhelm Waldhausen 于 1983 年给出, 虽然 Waldhausen 本人把它归功于 Segal. 该构造给出 Waldhausen 范畴 理论.

1定义

定义 1.1 ( 构造).Waldhausen 范畴. 其 构造单纯 Waldhausen 范畴 , 其中 指满足如下条件的对象 生成的满子范畴:

, ;

, 余纤维化, 且是推出图表;

其单纯范畴结构由 关于 的函子性给出. 换言之, 是如下形状的图表构成的范畴其中 是余纤维化, 所有的方块都是推出.

注 1.2. 给出范畴等价 .

定义 1.3 ( 理论). Waldhausen 范畴 理论 -群 , 其中:

指对单纯 Waldhausen 范畴逐项取对象群胚, 带上有限余积给出的 -幺半群结构, 故 是单纯 -幺半群;

指单纯对象的几何实现, 即沿 取余极限, 故 -幺半群;

指取环路空间, 故最终 -群.

显然, 理论对 Waldhausen 范畴的正合函子有函子性, 给出函子 . 由于 , , 映射 给出 -幺半群自然同态 . 对象 在该映射下的像称为 .

2直观

上一节的构造看似复杂、抽象, 实则无非是(1)高阶代数版本, 本节详述这一直观. 为此先回忆高阶代数中的幺半群.

定义 2.1 (幺半群). 幺半群指单纯生象 , 满足对任意自然数 , 个映射 , 合起来诱导的映射 是同构. 称 为该幺半群的底生象. 幺半群的同态就是单纯生象的映射, 它们构成的范畴记作 , 依定义是 满子范畴.

注 2.2. 在定义 2.1 中:

, 得 为单点. 唯一的映射 诱导的 就是幺元.

, 得 , 两个投影分别对应于取单形 的边 . 取第三条边 诱导的映射 就是二元乘法.

一般地对 , 诱导的映射 就是 元乘法, 而关于 的函子性正是同伦连贯的结合律. 特别地, 是经典幺半群.

再回忆高阶代数中的群.

定义 2.3 (群). 对幺半群 , 以下条件等价:

1.

是经典群.

2.

单形 的任两条边诱导的映射 都是同构.

满足条件的幺半群称为群. 它们构成的范畴记作 , 依定义是 的满子范畴.

经典代数中, 任给元素与关系, 可以从它们出发万有地得到 (幺半) 群, 所得即为这些元素与关系所表现的 (幺半) 群. 高阶代数中也是如此, 其中高阶的元素与关系可以由一般的、未必是 (幺半) 群的单纯生象所表达.

命题 2.4. 两个含入函子 都有左伴随. 它们显然穿过带基点范畴 ; 含入函子 的左伴随是 , 即几何实现的环路空间, 以环路复合为群结构.

万事俱备, 我们回到 理论. 鉴于 (1) 给出 的定义, 我们只要把它合理推广到高阶, 就会得到高阶 理论的定义. 为此首先要把对象集合换成对象群胚, 其次要考察可能的高阶关系, 把它写成一个单纯集 , 最后对 用命题 2.4 中的左伴随来获得群. 先考察 的低阶部分. 作为群的生成元, 自然就是范畴的对象群胚. 表达二元加法之间的关系, 而这由 (1) 给出, 故自然的取法就是形如 (1) 中的推出图表组成的群胚, 把图表打到 分别对应于 诱导的边缘映射. 容易发现这就是定义 1.1 中的 . 除此之外, 我们还希望有以下高阶关系: 例如有余纤维化则二元加法之间的关系给出其中两种把左上角 类等同于右下角 类的方式应当等同. 这种关系正由定义 1.1 中的 表达. 以此类推, 可知定义 1.1 恰表达了 类之间所有的高阶关系, 而定义 1.3 中的 理论正是这些关系表现的群.

注 2.5. 定义 1.3 中的群结构看似与上述群结构不同, 实则无碍: 由 Eckmann–Hilton 论证适当的高阶版本, 交换幺半群范畴的幺半群对象还是交换幺半群, 且两个幺半群结构典范地相同; 于是只需注意到 构造对有限余积有函子性, 即可发现定义 1.3 中的群结构与我们想要的群结构相同, 且是交换群.

3性质

本节的主要目标是证明如下万有性质:

定理 3.1. 理论是 Waldhausen 范畴的 下的加性不变量之中初始者.

定理 3.2. 理论是 Waldhausen 范畴的有限加性不变量. 换言之:

与滤余极限交换.

.

对任意 Waldhausen 范畴 , 的正合函子 理论上给出的映射是同构.

证明. 前两条为显然, 下证最后一条. 由于(2)给出 的截面, 而 理论取值为 -群, 故只需证是纤维列, 这里第一个箭头由 (2) 给出, 第二个箭头由 给出. 为此只需证(3)是纤维列. 注意对任一 Waldhausen 范畴 , (2) 和 给出的都是纤维列; 对每个自然数 , 知 (3) 逐项是纤维列, 即是单纯生象的纤维列. 要证明它的余极限还是纤维列.

4参考文献

Clark Barwick (2016). “On the algebraic -theory of higher categories”. Journal of Topology 9 (1), 245–347. (doi) (web)

5相关概念

Waldhausen 范畴

术语翻译

Waldhausen 构造英文 Waldhausen -construction