Whitehead 问题

Whitehead 问题是个关于交换群的同调代数问题:

•	如交换群 $G$ 满足 $\mathrm{Ext}(G,\mathbb{Z})=0$, $G$ 是否一定是自由交换群?

将满足 $\mathrm{Ext}(G,\mathbb{Z})=0$ 的交换群 $G$ 称为 Whitehead 群, 则显然自由交换群总是 Whitehead 群. Whitehead 问题就是问反过来是否也对.

该问题是 Henry Whitehead 受第二 Cousin 问题的启发, 于 20 世纪 50 年代提出的. 尔后 Sarahon Shelah 于 70 年代证明它在 ZFC 下不可决定, 即它和它的否定都不能从 ZFC 集合论出发证明. 该结果十分出人意料. 尽管早有 Gödel 不完备性定理说明 ZFC 中有不可决定的命题, 也有连续统假设给出实例, 但人们并不知道, 非集合论的命题也能不可决定. Whitehead 问题是第一个这样的命题.

Shelah 的证明分为两部分:

•	证明如可构造公理成立, 则 Whitehead 群总是自由.
•	证明如 Martin 公理成立且连续统假设不成立, 则存在不自由的 Whitehead 群.

1准备

2相容性

3否定的相容性

4相关概念

•	$\mathrm{Ext}$ 函子
•	Gödel 可构造宇宙
•	连续统假设
•	菱形原理
•	Martin 公理

术语翻译

Whitehead 问题 • 英文 Whitehead problem • 德文 Whitehead-Problem • 法文 problème de Whitehead