连续统假设

连续统假设, 常简写为 CH, 是集合论中的著名问题, 是 Hilbert 的 23 个问题之首. 它是无穷基数运算最基本的问题, 问是否有 $2^{{\aleph }_0}={\aleph }_1$. 其名称来源于 $2^{{\aleph }_0}={\aleph }_1$ 的如下等价陈述:

•	不存在基数严格介于自然数和实数之间的集合;

而实数又被称为连续统.

连续统假设已被 Kurt Gödel 和 Paul Cohen 解决, 他们分别证明了它和它的否定与 ZFC 的相对相容性. 换言之, 如果 ZFC 相容, 则连续统假设既不能在 ZFC 中证明, 也不能在其中证否.

1历史

早在有严格的集合论如 ZF 集合论之前, Georg Cantor 就于 1878 年猜想连续统假设成立, 但他探索多年无功而返. Hilbert 于 1900 年数学家大会上将其列为其 23 个问题之首. 到 20 年代, Zermelo, Fraenkel, von Neumann 等人陆续提出了 ZF 集合论的各个公理. Kurt Gödel 于 1940 年用其可构造宇宙证明了如果 ZFC 相容, 连续统假设也与之相容. 最后, Paul Cohen 于 1963 年用其力迫法证明了如果 ZFC 相容, 连续统假设之否定也与之相容.

2相容性

定理 2.1. $$\text{ZFC}+\text{V=L}⊢\text{CH}.$$从而连续统假设与 ZFC 相容.

证明. 由于连强连续统假设都与 ZFC 相容, 且证明并不更难, 故见该条目.

$\square$

3否定的相容性

事实上有更强的定理, 证明并不更难:

定理 3.1. 对序数 $\alpha ,\beta$, 只要 ${\aleph }_{\alpha }<\mathrm{cf}({\aleph }_{\beta })$, 就有$$\mathrm{Con}(\text{ZFC})⟹\mathrm{Con}(\text{ZFC}+2^{{\aleph }_{\alpha }}={\aleph }_{\beta }).$$

证明. 这里的证明是从 von Neumann 宇宙出发构造 Boole 值 von Neumann 宇宙, 使之满足 $2^{{\aleph }_{\alpha }}={\aleph }_{\beta }$. 由于强连续统假设与 ZFC 相对相容, 可设原来的宇宙中强连续统假设成立.

考虑 Boole 代数 $B=\mathrm{RO}(2^{{\aleph }_{\alpha }\times {\aleph }_{\beta }})$, 即 $2^{{\aleph }_{\alpha }\times {\aleph }_{\beta }}$ 在乘积拓扑下的正则开集 Boole 代数. 它是完备 Boole 代数, 且由 $2^{{\aleph }_{\alpha }\times {\aleph }_{\beta }}$ 的乘积测度是有限 Borel 测度, 满足开集测度都为正, 易知 $B$ 满足可数反链条件. 作 Boole 值 von Neumann 宇宙 $V^{(B)}$, 并对普通集合 $a$ 以 $\hat{a}$ 记其自然给出的 Boole 值集合. 则由于可数反链条件保证基数不变, 有 ${\aleph }_{\hat{\alpha }}=\widehat{{\aleph }_{\alpha }}$, ${\aleph }_{\hat{\beta }}=\widehat{{\aleph }_{\beta }}$. 以下我们来证明 $|\mathcal{P}(\widehat{{\aleph }_{\alpha }})|=\widehat{{\aleph }_{\beta }}$, 从而得到定理.

先给出右边到左边的单射, 即在 $\mathcal{P}(\widehat{{\aleph }_{\alpha }})$ 中举出 ${\aleph }_{\beta }$ 个相异元素. 由 Boole 值 von Neumann 宇宙的定义, ${\aleph }_{\alpha }$ 到 $B$ 的函数对应 $\widehat{{\aleph }_{\alpha }}$ 的子集. 于是对 $u\in {\aleph }_{\beta }$, 考虑函数 $f_u:{\aleph }_{\alpha }\to B$, 定义为 $f_u(x)=\{\phi \in 2^{{\aleph }_{\alpha }\times {\aleph }_{\beta }}\mid \phi (x,u)=1\}$. 对 $u,v\in {\aleph }_{\beta }$, 计算真值$$[f_u=f_v]=\underset{x\in {\aleph }_{\alpha }}{\bigwedge }[f_u(x)=f_v(x)]=\underset{x\in {\aleph }_{\alpha }}{\bigwedge }\{\phi \in 2^{{\aleph }_{\alpha }\times {\aleph }_{\beta }}\mid \phi (x,u)=\phi (x,v)\};$$对 $u\ne v$, 上式右边是 $2^{{\aleph }_{\alpha }\times {\aleph }_{\beta }}$ 中无穷多个相互独立、测度为 $1/2$ 的集合之交, 不能包含开集, 故在 $B$ 中为 $0$. 于是这些 $\{f_u{\}}_{u\in {\aleph }_{\beta }}$ 互异, 从而 $|\mathcal{P}(\widehat{{\aleph }_{\alpha }})|\ge \widehat{{\aleph }_{\beta }}$.

再证明 $|\mathcal{P}(\widehat{{\aleph }_{\alpha }})|\le \widehat{{\aleph }_{\beta }}$. 为此, 首先注意 $2^{{\aleph }_{\alpha }\times {\aleph }_{\beta }}$ 的开闭集只有 ${\aleph }_{\beta }$ 个, 且它们构成拓扑基; 其次由 $B$ 满足可数反链条件易知 $B$ 中元素都是可数个开闭集之并, 所以 $|B|\le {\aleph }_{\beta }^{{\aleph }_0}$. 然后由 $\widehat{{\aleph }_{\alpha }}$ 的子集对应 ${\aleph }_{\alpha }$ 到 $B$ 的函数知 $|\mathcal{P}(\widehat{{\aleph }_{\alpha }})|\le \widehat{|B^{{\aleph }_{\alpha }}|}=\widehat{{\aleph }_{\beta }^{{\aleph }_{\alpha }}}$. 最后, 回忆一开始假设了原来的宇宙中强连续统假设成立, 故由基数运算法则和条件知 ${\aleph }_{\beta }^{{\aleph }_{\alpha }}={\aleph }_{\beta }$, 即 $|\mathcal{P}(\widehat{{\aleph }_{\alpha }})|\le \widehat{{\aleph }_{\beta }}$.

$\square$

注 3.2. 该定理无非是说, 单个无穷基数的幂集可能为哪些基数, 唯一的限制是 Kőnig 不等式. 特别地, $2^{{\aleph }_0}={\aleph }_2$ 与 ZFC 相对相容, 从而 ZFC 如相容就不能证明连续统假设.

注 3.3. 以上定理只涉及单个基数等式的相对相容性. 事实上甚至可以同时指定所有正则基数幂集的基数而仍然相对相容, 只要满足单调性和 Kőnig 不等式. 这就是 Easton 定理.

4推论

•

Martin 公理

5相关概念

•	强连续统假设
•	力迫法

术语翻译

连续统假设 • 英文 continuum hypothesis • 德文 Kontinuumshypothese • 法文 hypothèse de continu • 拉丁文 hypothesis de continuo • 古希腊文 ὑπόθεσις συνέχους