关系

集合 $X$ 上的关系是一种规则, 给定 $X$ 中若干元素, 就能判定它们是否满足这种关系. 例如, 自然数集上的关系包括相等、小于、小于等于、整除等. 这些例子都是二元关系, 即两个元素满足的关系.

1定义

定义 1.1 (关系). 设 $n$ 是自然数. 集合 $X_1,\dots ,X_n$ 上的 $n$ 元关系是指一个子集$$R\subset X_1\times \cdots \times X_n,$$其中右边为集合的 Descartes 积. 如果 $(x_1,\dots ,x_n)\in R$, 我们说这些元素满足关系 $R$, 并记$$R(x_1,\dots ,x_n).$$当 $n=2$ 时, $R(x_1,x_2)$ 常常记为 $x_{1}R{x}_2$, 有时也说该二元关系是从 $X_1$ 到 $X_2$ 的.

单个集合 $X$ 上的 $n$ 元关系定义为 $X,\dots ,X$ 上的 $n$ 元关系.

2例子

•	集合 $X$ 上的零元关系也就是单点集的子集, 即逻辑值.
•	集合 $X$ 上的一元关系也就是 $X$ 的子集.
•	集合 $X$ 上的二元关系也就是 $X\times X$ 的子集. ∘ 任何集合上, 元素的相等、不相等都是两种二元关系, 分别对应 $X\times X$ 的对角线和它的补集. ∘ 自然数集 $\mathbb{N}$ 上的二元关系有小于、小于等于、整除等.

3种类

•	部分映射
•	映射
•	多值映射
•	自反关系
•	传递关系
•	对称关系
•	全关系
•	等价关系
•	偏序
•	全序
•	良序

4相关概念

•

运算

术语翻译

关系 • 英文 relation • 德文 Relation (f) • 法文 relation (f) • 拉丁文 relatio (f) • 古希腊文 σχέσις (f)

二元关系 • 英文 binary relation • 德文 zweistellige Relation • 法文 relation binaire • 拉丁文 relatio binaria • 古希腊文 δυαδικὴ σχέσις

$n$ 元关系 • 英文 $n$-ary relation • 德文 $n$-stellige Relation • 法文 relation $n$-aire • 拉丁文 relatio $n$-aria • 古希腊文 $\nu$-αδικὴ σχέσις