等价关系

等价关系是描述集合中元素 “相似性” 的一种方式. 例如, “相等” 是最强的相似性, 故而相等是等价关系. 整数的同余也是某种相似性, 也是等价关系. 又例如, Euclid 平面中直线的平行关系也是等价关系.

等价关系常用符号 $\sim$ 或 $\equiv$ 表示.

1定义

定义 1.1 (等价关系). 我们称集合 $X$ 上二元关系 $\sim$ 是等价关系, 如果其满足下列性质:

•	(自反性) 对任意 $x \in X$ , 有 $x \sim x$ .

•	(对称性) 对任意 $x, y \in X$ , 若 $x \sim y$ , 则 $y \sim x$ .

•	(传递性) 对任意 $x, y, z \in X$ , 若 $x \sim y$ 且 $y \sim z$ , 则 $x \sim z$ .

定义 1.2 (等价类). 给定集合 $X$ 上等价关系 $\sim$ . 对任意 $x \in X$ , 称 $X$ 的子集 $[x] = {y \in X ∣ x \sim y}$ 为 $x$ 在 $\sim$ 下的等价类. 此时, 集合 $X$ 是所有等价类的无交并.

定义 1.3 (商集). 给定集合 $X$ 上等价关系 $\sim$ , 商集 $X / \sim$ 是所有等价类的集合: $X / \sim = {[x] ∣ x \in X} .$

这样, 有自然的满射 $X \to X / \sim$ , 将每个元素 $x$ 映到其等价类 $[x]$ .

对集合 $X$ 上的任意二元关系, 都能定义它生成的等价关系, 即包含它的最小等价关系.

定义 1.4. 设 $\approx$ 是集合 $X$ 上的二元关系. 则 $\approx$ 的生成等价关系是 $X$ 上的等价关系 $\sim$ , 定义如下:

•	若 $x, y \in X$ , 则 $x \sim y$ 当且仅当存在自然数 $n$ 和元素 $x_{0}, \dots, x_{n} \in X$ , 使得 $x_{0} = x$ , $x_{n} = y$ , 且对任意 $i \in {0, \dots, n - 1}$ , 都有 $x_{i} \approx x_{i + 1}$ 或 $x_{i + 1} \approx x_{i}$ .

•	集合 $X$ 上的 “相等” 关系是等价关系, 其等价类是所有单点子集.

•	对任意整数 $n \geq 1$ , “模 $n$ 同余” 是整数集 $Z$ 上的等价关系.

•	平行关系是 Euclid 平面中直线间的等价关系.

•	一般地, 对集合间的映射 $f : X \to T$ , “被 $f$ 映到同一元素” 是 $X$ 上的等价关系, 其等价类为 $T$ 中单点子集的原像. 事实上, 所有等价关系都能如此描述.

•	自反关系
•	传递关系
•	对称关系
•	偏等关系术语翻译等价关系 • 英文 equivalence relation • 德文 Äquivalenzrelation • 法文 relation d’équivalence • 拉丁文 relatio aequivalentiae • 古希腊文 σχέσις ἰσοδυναμίας 等价类 • 英文 equivalence class • 德文 Äquivalenzklasse • 法文 classe d’équivalence • 拉丁文 classis aequivalentiae • 古希腊文 τάξις ἰσοδυναμίας