运算

运算是指在一个集合中, 给定两个元素 (也可以是 $n$ 个元素), 得到一个新元素的规则. 例如, 四则运算是四种常见的运算.

1定义

在集合论中

定义 1.1 (二元运算). 集合 $X$ 上的二元运算是指映射$$•:X\times X\to X.$$此时, 对 $a,b\in X$, 通常将运算的结果 $\ast (a,b)$ 记作 $a\ast b$.

注 1.2. 带有二元运算的集合也称为原群.

定义 1.3 (运算). 设 $n$ 是非负整数. 集合 $X$ 上的 $n$ 元运算是指映射$$f:X^n\to X.$$

在范畴论中

定义 1.4 (运算). 设 $\mathcal{C}$ 是幺半范畴, 对象 $X\in \mathcal{C}$ 上的 $n$ 元运算是指态射$$f:X^{\otimes n}\to X.$$

为了在范畴论中描述运算之间满足的关系, 我们需要引入运算体的概念. 使用这个概念, 我们可以谈论与所在范畴无关的代数结构. 例如, 我们可以在任何范畴中定义群 (称为群对象), 也可以在任何线性空间充实范畴中定义 Lie 代数.

在同伦代数中, 我们还要考虑运算之间的同伦. $\infty$-运算体的概念因此而引入, 用来描述与所在范畴无关的同伦代数结构.

2例子

二元运算的例子包括:

•	整数的加法和乘法. 这两种运算赋予了整数一个交换环的结构.
•	流形的同胚类的连通和. 这种运算赋予了 $n$ 维流形同胚类的集合一个幺半群的结构.

3相关概念

•	关系
•	映射
•	运算体

术语翻译

运算 • 英文 operation • 德文 Verknüpfung (f) • 法文 opération (f) • 拉丁文 operatio (f) • 古希腊文 πρᾶξις (f)

二元运算 • 英文 binary operation • 德文 zweistellige Verknüpfung • 法文 opération binaire • 拉丁文 operatio binaria • 古希腊文 δυαδικὴ πρᾶξις

$n$ 元运算 • 英文 $n$-ary operation • 德文 $n$-stellige Verknüpfung • 法文 opération $n$-aire • 拉丁文 operatio $n$-aria • 古希腊文 $\nu$-αδικὴ πρᾶξις