五引理

五引理是说, 在 Abel 范畴中, 如果有下面的交换图: $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5}, f_{1} f_{2} f_{3} f_{4} f_{5}$ 其中两行都是正合的, 并且 $f_{1}, f_{2}, f_{4}, f_{5}$ 都是同构, 那么 $f_{3}$ 也是同构.

五引理的证明常常被当作典型的追图练习.

1陈述与证明
2相关概念

1陈述与证明

定理 1.1 (五引理). 在 Abel 范畴 $C$ 中, 如果有下面的交换图: $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5}, d_{1} f_{1} d_{2} f_{2} d_{3} f_{3} d_{4} f_{4} f_{5} d_{1}^{'} d_{2}^{'} d_{3}^{'} d_{4}^{'}$ 其中两行都是正合的, 并且 $f_{2}, f_{4}$ 是同构, $f_{1}$ 是满态射, $f_{5}$ 是单态射, 那么 $f_{3}$ 是同构.

证明. 使用两次四引理即可.

$□$

直接证明. 由 Freyd–Mitchell 嵌入定理, $C$ 能嵌入一个模范畴 $R - Mod$ . (虽然这需要 $C$ 是小范畴, 但我们可以将 $C$ 换成包含这个图表的小子范畴.) 该嵌入是正合的, 故将定理中的图表换成对应的 $R - Mod$ 中图表后, 定理的所有假设仍成立. 因此, 我们可以直接假设所有 $A_{i}, B_{i}$ 都是 $R$ -模.

我们来证明 $f_{3}$ 是满射. 取 $b_{3} \in B_{3}$ , 令 $b_{4} = d_{3}^{'} b_{3} \in B_{4}$ . 取 $a_{4} \in A_{4}$ 使得 $f_{4} (a_{4}) = b_{4}$ . 令 $a_{5} = d_{4} (a_{4})$ . 则 $f_{5} (a_{5}) = d_{4}^{'} f_{4} (a_{4}) = d_{4}^{'} d_{3}^{'} (b_{3}) = 0$ , 从而 $a_{5} = 0$ . 从而存在 $a_{3} \in A_{3}$ 使 $d_{3} (a_{3}) = a_{4}$ . 而 $d_{3}^{'} (f_{3} (a_{3}) - b_{3}) = 0$ , 故存在 $b_{2} \in B_{2}$ 使 $d_{2}^{'} (b_{2}) = b_{3} - f_{3} (a_{3})$ . 取 $a_{2} \in A_{2}$ 使 $f_{2} (a_{2}) = b_{2}$ . 则 $d_{2} (a_{2}) + a_{3} \in A_{3}$ 满足 $f_{3} (d_{2} (a_{2}) + a_{3}) = d_{2}^{'} (b_{2}) + f_{3} (a_{3}) = b_{3}$ , 这说明 $f_{3}$ 是满射.

再证明

f_{3}

是单射. 设

a_{3} \in A_{3}

满足

f_{3} (a_{3}) = 0

. 记

a_{4} = d_{3} (a_{3}) \in A_{4}

. 则

f_{4} (a_{4}) = d_{3}^{'} f_{3} (a_{3}) = 0

, 从而

a_{4} = 0

. 故存在

a_{2} \in A_{2}

使

a_{3} = d_{2} (a_{2})

. 记

b_{2} = f_{2} (a_{2}) \in B_{2}

. 则

d_{2}^{'} (b_{2}) = f_{3} d_{2} (a_{2}) = f_{3} (a_{3}) = 0

, 故存在

b_{1} \in B_{1}

使

b_{2} = d_{1}^{'} (b_{1})

. 取

a_{1} \in A_{1}

使

b_{1} = f_{1} (a_{1})

. 则

f_{2} d_{1} (a_{1}) = d_{1}^{'} (b_{1}) = b_{2}

, 故

d_{1} (a_{1}) = a_{2}

. 从而

a_{3} = d_{2} (a_{2}) = d_{2} d_{1} (a_{1}) = 0

. 这说明

f_{3}

是单射.

$□$

注 1.2. 由上述直接证明, 可知五引理对带点集合范畴 $C = Set_{*}$ 也成立. 特别地, 五引理对群范畴 $Grp$ 也成立.

2相关概念

•	四引理
•	$3 \times 3$ 引理
•	蛇形引理

术语翻译

五引理 • 英文 five lemma • 德文 Fünferlemma (n) • 法文 lemme des cinq (m)

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