Freyd–Mitchell 嵌入定理

Freyd–Mitchell 嵌入定理是说, 每个小 Abel 范畴都是某个环上的模范畴的满子范畴, 使得含入函子正合.

这一结论常常可以简化关于 Abel 范畴的结论的证明, 因为可以假设其对象都是某个环上的模, 从而可以谈论这些模的元素等概念.

1定理和证明

定理 1.1 (Freyd–Mitchell 嵌入定理). 设 $\mathcal{C}$ 是小 Abel 范畴. 则存在环 $R$ (不一定交换), 使得有一个全忠实、正合函子$$\mathcal{C}\to R\text{-}\mathsf{Mod},$$其中 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 是 $R$ 上所有左模构成的 Abel 范畴.

证明. 由以下引理 (之对偶), 只需证明每个小 Abel 范畴都能全忠实、正合地嵌入一个完备且有内射余生成元的范畴. 以下我们要将其嵌入一个 Grothendieck Abel 范畴, 然后用 Grothendieck Abel 范畴的性质推出结论. 为此使用层论. 定义$$\mathrm{Cov}(\mathcal{C})=\{\{V\twoheadrightarrow U\}{\}}_{U\in \mathcal{C}},$$即令单个满射为覆盖, 容易发现 $(\mathcal{C},\mathrm{Cov}(\mathcal{C}))$ 是景. 由 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(-,c):{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Ab}$ 左正合, 立得可表预层 $h_c$ 是该景的层. 因而 Yoneda 引理给出全忠实嵌入 $h:\mathcal{C}\to \mathsf{Sh}(\mathcal{C})$. $h$ 显然左正合, 只需证它保持满射. 考虑满射 $c\twoheadrightarrow d$, 要证 $h_c\to h_d$ 是层满射, 也就是对任意 $U\in \mathcal{C}$, $f\in h_d(U)$, 证明存在 $V\twoheadrightarrow U$, $f$ 拉回到 $V$ 之后来自 $h_c(V)\to h_d(V))$. 事实上取 $V=c{\times }_{d}U$ 即足, 因为 $f$ 拉回到 $V$ 之后就是自然映射 $V\to d$, 由 $V$ 的构造这来自 $V\to c$. 这样由 Abel 群层范畴都是 Grothendieck Abel 范畴即得结论.

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引理 1.2. 设小范畴 $\mathcal{C}$ 是余完备且有投射生成元的 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 的满 Abel 子范畴. 则 $\mathcal{C}$ 可全忠实、正合地嵌入模范畴.

证明. 取 $\mathcal{A}$ 的投射生成元 $Q$, 并令 $P={⨁}_{c\in \mathcal{C}}{Q}^{\oplus {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(Q,c)}$, 则 $P$ 也是投射生成元, 且有满射 $P\twoheadrightarrow {⨁}_{c\in \mathcal{C}}c$. 令 $R={\mathrm{End}}_{\mathcal{A}}(P)$, 则对任意 $a\in \mathcal{A}$, $R$ 通过复合右作用在 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(P,a)$ 上. 我们来证明正合函子 $H={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(P,-)$ 是 $\mathcal{C}$ 到右 $R$ 模范畴的全忠实函子.

$P$ 的构造自动对每个 $c\in \mathcal{C}$ 给出了满射 $\gamma :P\twoheadrightarrow c$. 所以对于 $0\ne f:c\to d$, 有 $0\ne (Hf)(\gamma )=f\circ \gamma \in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(P,d)$, 所以 $H$ 忠实. 为证 $H$ 满, 需要对 $\phi :Hc\to Hd$ 找到 $f:c\to d$ 使得 $Hf=\phi$. 为此仍考虑以上满射 $\gamma \in Hc$, 我们想证明 $\phi (\gamma )\in Hd$ 是某个 $f\circ \gamma$, 也就是 $\phi (\gamma ):P\to d$ 穿过 $\gamma :P\twoheadrightarrow c$. 记 $I={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(P,\ker (\gamma ))\subseteq R$, 则 $I$ 是 $R$ 的右理想, 且 $\gamma I=0$. 因 $\phi$ 是右模同态, 所以 $\phi (\gamma )I=0$. 也就是说, $P$ 到 $\ker (\gamma )\hookrightarrow P$ 的每个映射在复合 $\phi (\gamma )$ 之后都得 $0$. 由于 $P$ 是生成元, 这就推出 $\ker (\gamma )\hookrightarrow P$ 本身复合 $\phi (\gamma )$ 之后得 $0$, 即 $\phi (\gamma )$ 穿过 $\gamma$.

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同样的构造给出下面的定理.

定理 1.3. 设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 则下列等价:

•	存在环 $R$ 及范畴等价 $\mathcal{A}\simeq R\text{-}\mathsf{Mod}$.
•	$\mathcal{A}$ 有无穷直和, 且有紧投射生成元.

证明. 上面推下面是显然的, 因为 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 当然有无穷直和, 而 $R$ 是其紧投射生成元. 下证另一个方向, 即证满足下面一个条件的 $\mathcal{A}$ 等价于模范畴. 和上面一样, 这里要用右模. 由于 $\mathsf{Mod}\text{-}R\simeq R^{\mathrm{op}}\text{-}\mathsf{Mod}$, 这无伤大雅.

取紧投射生成元 $P$ 并令 $R={\mathrm{End}}_{\mathcal{A}}(P)$, 于是 $H={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(P,-)$ 是 $\mathcal{A}$ 到右 $R$ 模范畴的正合函子. 要证它是范畴等价. 由于 $P$ 紧, $H$ 保持滤余极限. 所以因为 $H$ 已经正合, 便得到它保持任意余极限.

先证 $H$ 全忠实, 即证对任意 $a,b\in \mathcal{A}$, $${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(a,b)={\mathrm{Hom}}_R(Ha,Hb).$$由于 ${\mathrm{End}}_{\mathcal{A}}(P)=R={\mathrm{End}}_{\mathsf{Mod}\text{-}R}(R)$, 当 $a=b=P$ 时等号成立. 由于 $P$ 紧投射, $R$ 作为右 $R$ 模亦紧投射, 故照抄上一段中的观察即可发现, 当 $a=P$ 时, 等号两边作为 $b$ 的函子与所有余极限交换. 由于 $P$ 生成 $\mathcal{A}$, $\mathcal{A}$ 中所有对象都是 $P$ 的直和之间映射的余核, 由此即得对 $a=P$ 以及任意 $b\in \mathcal{A}$ 都有上面等号成立. 再用一遍此事, 由于 $\mathrm{Hom}$ 把第一个分量的余极限变成极限, 立得对任意 $a,b\in \mathcal{A}$ 都有上面等号成立.

再证 $H$ 本质满. 这只需注意到右 $R$ 模 $M$ 都是 $R$ 的直和之间映射的余核, 而 $H$ 全忠实又保持余极限, 从而对应的 $P$ 的直和之间映射的余核在 $H$ 下的像便同构于 $M$. 这样就得到 $H$ 是范畴等价.

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2相关概念

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重构定理