亚结构逻辑

在逻辑学中, 亚结构逻辑泛指结构性规则不一定成立或者可容许的逻辑. 一般来说, 这些结构性规则特指如下规则:

•	弱化规则: $$\frac{\Gamma ⊢C}{\Gamma ,A⊢C}$$
•	收缩规则: $$\frac{\Gamma ,A,A⊢C}{\Gamma ,A⊢C}$$
•	交换规则: $$\frac{\Gamma ,A,B⊢C}{\Gamma ,B,A⊢C}$$

剩下的一般还是会让它们成立或者可容许的.

例如, 在一般的逻辑中, 恒同规则如下:$$\frac{}{\Gamma ,A⊢A}$$此时就隐含了 “弱化规则一定程度上成立” 这件事, 因为这个规则允许 $\Gamma$ 里面包含的任意命题被忽视. 若我们不想让弱化规则可容许, 则需要将它改为$$\frac{}{A⊢A}$$除此之外对所有的规则都要进行这样的修改.

有不同的方式对这些规则进行限制, 例如重写所有规则使得这些规则不再可容许, 或者只允许部分命题具有这些规则, 或者引入模态来隐藏它们.

注 0.1. 此处只是这些规则并不是全局成立或者可容许. 对于部分命题, 例如恒真命题, 三个结构性规则都是可容许规则.

1例子

•	相关逻辑没有全局的弱化规则,

•	仿射逻辑没有全局的收缩规则,

•	线性逻辑结合了相关逻辑和仿射逻辑的限制,

•	顺序逻辑没有全局的任何结构规则.

•	语境形成的结合性也可以拿掉, 但目前并未发现这样的逻辑有任何应用.

为便于区分, 将结构性规则成立或者可容许的逻辑称为结构逻辑, 这也是一般意义上的 “逻辑”.

这些逻辑也可以按照语境本身的性质来分类. 若将结构逻辑中的语境看作命题的集合, 那么:

•	线性逻辑中, 语境是命题的多重集,

•	顺序逻辑中, 语境是命题的序列,

•	语境形成的结合性不可容许的情况下, 语境是命题的二叉树.

但这种分类方式不好描述相关逻辑和仿射逻辑.

逻辑连接词

参见: 极性

结构逻辑中的 $\wedge ,\vee ,\to$ 三个逻辑连接词在去掉结构性规则后往往会分裂为多个版本:

•	去掉弱化和收缩规则后, “蕴涵” 和 “或” 依然只有一个 (分别记作 $⊸,\oplus$), “与” 分裂为两种 $\otimes ,\&$, 分别对应 “与” 的极性为正负的两种情况. 这对应线性逻辑. “与” 的单位元——恒真命题 $\top$, 也分裂为正的和负的两种, 分别记作 $1,\top$. 主条目: 线性逻辑

•	去掉交换规则后, “与” 和 “或” 保持不变, “蕴涵” $A⊸B$ 分裂为两种, 这对应顺序逻辑. ∘ 左蕴涵把语境中最左边的命题取出来: $$\frac{A,\Omega ⊢B}{\Omega ⊢A\rightarrowtail B}$$ ∘ 右蕴涵把语境中最右边的命题取出来: $$\frac{\Omega ,A⊢B}{\Omega ⊢A\twoheadrightarrow B}$$ 主条目: 顺序逻辑

•	也有逻辑是同时兼具多种逻辑的连接词, 参见伴随逻辑.

术语翻译

亚结构逻辑 • 英文 substructural logic • 日文 部分構造論理