仿射单形

仿射单形是 Euclid 空间的一类子集, 是单形的概念在 Euclid 空间中的实现. 例如, Euclid 空间中的三角形是 $2$ 维的仿射单形, 四面体是 $3$ 维的仿射单形, 等等.

对给定的 $n$, 所有 $n$ 维仿射单形都同胚于 $n$ 维单形.

1定义

定义 1.1 (仿射单形). 设 $0\le m\le n$ 为自然数. 在 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中, 设 $x_0,\dots ,x_m\in {\mathbb{R}}^n$ 构成仿射无关点组. 则这些点张成的 $m$ 维仿射单形就是指这些点的凸包, 也就是集合$$\left\{\sum _{i=0}^m{a}_i{x}_i|a_0,\dots ,a_m\ge 0,\text{ 且 }\sum _{i=0}^m{a}_i=1\right\}$$

该仿射单形中, 任意一点都可以唯一地由参数 $a_0,a_1,\cdots ,a_m$ 表示, 这称为该点的重心坐标.

由 $\{x_0,x_1,\cdots ,x_m\}$ 的非空子集张成的单形称为该单形的面.

2性质

•	若同一仿射单形同时由 $\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$ 和 $\{y_1,y_2,\cdots ,y_n\}$ 张成, 那么这两组点集相等.

3例子

在 Euclid 空间中,

•	$0$ 维仿射单形为点.

•	$1$ 维仿射单形为线段.

•	$2$ 维仿射单形为三角形.

•	$3$ 维仿射单形为四面体.

4相关概念

•	单形、标准单形
•	单纯复形
•	单纯集

术语翻译

仿射单形 • 英文 affine simplex • 德文 affines Simplex (n) • 法文 simplexe affine (m)

重心坐标 • 英文 barycentric coordinates • 德文 Baryzentrische Koordinaten (f) • 法文 coordonnées barycentriques (f) • 拉丁文 coordinatae barycentricae (f)