点

点是几何学中的概念.

在古典几何学中, 点描述空间中的某一确切位置, 不具有形状和大小. 点的概念常常是几何学公理的一部分, 正如元素的概念是集合论公理的一部分.

现代几何学以集合论为基础. 因此, 点不再是公理系统的一部分. 因为空间中所有点构成的集合能够很好地描述空间的性质, 所以常常将空间直接定义为所有点构成的集合, 再带上某些额外的结构. 这样一来, 点和元素几乎成为了同义词, 因为点是 “空间的元素”. 虽然如此, 但我们仍需注意, 点是一种几何概念, 而元素是集合论概念, 只是在以集合论为基础的数学中, 两者的描述恰好是等价的. 下面列举的空间都符合这一描述:

•	向量空间、Euclid 空间
•	度量空间、拓扑空间
•	流形、光滑流形
•	代数簇、概形

在这些空间中, 点都是指该空间的元素. 但值得指出的是, 在最后一例中, 点的概念变得抽象起来. 概形上的点不一定是指某一确切位置, 而有可能是一般点, 这种奇怪的点常常能覆盖概形的一大片区域. 但引入一般点给代数几何带来了革命性的改变, 这也是现代代数几何的开端.

随着几何学中范畴论的观点愈加深入, 几何学不再局限于 “空间等于点的集合” 这一思维定式. 在范畴论的观点下, 我们不再将每个的空间看成独立的数学对象, 而是将所有空间放在一起, 考虑其形成的范畴, 并将之作为一整体. 范畴论带来了各种广义空间的定义; 对这些空间而言, 点不再是空间定义的一部分, 而只是空间的性质: 空间的点就是从单点空间到该空间的态射. 在这种意义下, 点的概念又回归了其原始的几何含义. 这里提到的广义空间包括:

•	代数空间
•	代数叠
•	意象

对这些概念而言, 空间有了更加本质的定义, 而点则是与该空间有关的一种几何对象, 描述该空间中的某一位置.

上述例子引出一种奇妙的现象: 在代数叠上, 点可以具有非平凡的自同构. 这一现象在普通的空间中是难以想象的. 这说明, 点不再是 “不具有形状” 的几何对象, 而确实可以有各自的形状. 这一想法十分关键, 因为基于此, 我们可以在所有熟悉的空间中引入点的自同构, 以得到新的几何对象. 这一想法促使了高阶几何, 乃至导出几何的诞生. 这些新的几何对象包括:

•	$\infty$-叠、导出 $\infty$-叠
•	$n$-向量空间、$n$-向量丛
•	Lie $n$-代数胚、Lie $n$-群胚

如此等等. 对这些几何对象而言, 点仍然是指单点空间到该空间的态射, 但点自身也具有丰富的结构.

术语翻译

点 • 英文 point • 德文 Punkt (m) • 西班牙文 punto (m) • 法文 point (m) • 意大利文 punto (m) • 拉丁文 punctus (m) • 俄文 точка (f) • 古希腊文 σημεῖον (n) • 日文 点 (てん) • 韩文 점 (點)