偏等关系

偏等关系是集合上对称、传递的二元关系, 类似于等价关系, 但不满足自反性.

等价地说, $X$ 上的偏等关系是 $X$ 的某个子集上的等价关系.

1定义

定义 1.1 (偏等关系). 集合 $X$ 上的偏等关系是指二元关系 $R\subset X\times X$, 满足以下性质:

•	(对称性) 对任意 $x,y\in X$, 若 $R(x,y)$, 则 $R(y,x)$.

•	(传递性) 对任意 $x,y,z\in X$, 若 $R(x,y)$ 且 $R(y,z)$, 则 $R(x,z)$.

等价地说:

•	存在子集 $X^{\prime }\subset X$, 使得 $R\subset X^{\prime }\times X^{\prime }$, 且是 $X^{\prime }$ 上的等价关系.

这里, 两种表述等价是因为给定对称、传递关系 $R$, 若考虑 $X$ 的子集$$X^{\prime }=\{x\in X\mid R(x,x)\},$$则不难发现 $R\subset X^{\prime }\times X^{\prime }$. 反过来, 子集上的等价关系确实对称、传递.

定义 1.2 (子商集). 集合 $X$ 的子商集是指其某个子集的某个商集.

设 $R$ 是 $X$ 上的偏等关系, 对应于子集 $X^{\prime }$ 上的等价关系 $\sim$. 则商集 $X^{\prime }/\sim$ 称为 $R$ 所定义的子商集.

定义 1.3. 设 $X$ 为集合. 定义偏序集 $\mathrm{PER}(X)$ 为 $X$ 上所有偏等关系 $R\subset X\times X$ 的集合, 其中偏序由包含关系给出.

2例子

•	所有等价关系都是偏等关系.

•	考虑有理数序列的集合 $X={\mathbb{Q}}^{\mathbb{N}}$. 定义偏等关系 $R\subset X\times X$, 使得对 $x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in X$ 以及 $y=(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in X$, 有 $R(x,y)$ 当且仅当$$\underset{i,j\to \infty }{\lim }|x_i-y_j|=0.$$则该偏等关系对应的子集 $X^{\prime }$ 为收敛序列的子集, 其子商集是实数集.

3性质

命题 3.1. 设 $X$ 为集合. 将 $\mathrm{PER}(X)$ 视为范畴. 则有函子$$q:\mathrm{PER}(X)⟶\mathsf{Set},$$将偏等关系映到对应的子商集. 换言之, 偏等关系的包含能诱导子商集的映射.

$\square$

4相关概念

•	偏等关系语义
•	等价关系

术语翻译

偏等关系 • 英文 partial equivalence relation (PER)

子商集 • 英文 subquotient