导子

导子是求导在代数上的一种推广.

1定义

代数上的导子

定义 1.1 (代数上的导子). 假设 $A$ 是交换环 $R$ 上的代数, $d:A\to A$ 是 $R$-模同态. 如果满足

•	(Leibniz 法则) 对任意 $a,b\in A$, 有$$d(ab)=d(a)b+ad(b),$$

则称 $d$ 为 $A$ 上的导子或 $R$-导子. $A$ 上所有 $R$-导子的集合通常记为 ${\mathrm{Der}}_R(A)$.

注 1.2. 在定义 1.1 中, 如果 $d^2=0$, 就称 $(A,d)$ 为一个微分代数.

注 1.3. 由 Leibniz 法则, 导子的 $R$-线性条件等价于对 $r\in R$ 都有 $dr=0$. 下同.

模上的导子

定义 1.4 (模上的导子). 假设 $A$ 是交换环 $R$ 上的代数, $M$ 是 $A$ 上的双模, $d:A\to M$ 是 $R$-模同态. 如果满足

•	(Leibniz 法则) 对任意 $a,b\in A$, 有$$d(ab)=d(a)b+ad(b),$$

则称 $d$ 为 $A$ 到 $M$ 的导子或 $R$-导子. $A$ 到 $M$ 的 $R$-导子的全体通常记为 ${\mathrm{Der}}_R(A,M)$.

分次导子

定义 1.5 (分次代数上的导子). 假设 $A$ 是交换环 $R$ 上的分次代数, $d:A\to A$ 是 $R$-模同态, 其次数记为 $|d|$. 如果满足

•	(Leibniz 法则) 对任意齐次元素 $a,b\in A$, 有$$d(ab)=d(a)b+(-1{)}^{|d||a|}ad(b),$$其中 $|d|$ 和 $|a|$ 分别为 $d$ 和 $a$ 的次数,

则称 $d$ 为 $A$ 上的导子或 $R$-导子.

注 1.6. 在定义 1.5 中的符号 $(-1{)}^{|d||a|}$ 来自 Koszul 符号法则.

注 1.7. 在定义 1.5 中, 如果 $|d|=\pm 1$, 并且满足 $d^2=0$, 就称 $(A,d)$ 为一个微分分次代数.

2例子

•	零映射总是导子, 称为平凡导子.
•	$\mathbb{R}$ 上所有光滑函数构成的代数 $C^{\infty }(\mathbb{R})$ 中, 求导算子是一个导子.
•	设 $R$ 是环. 在多项式环 $R[x_1,\dots ,x_n]$ 上, 对每个 $x_i$ 求形式导数的算子 $\partial /\partial x_i$ 都是导子.
•	设 $M$ 是光滑流形, $X$ 是 $M$ 上的向量场. 则 $M$ 上的光滑函数环 $C^{\infty }(M)$ 的元素可以沿 $X$ 求方向导数, 这给出了 $C^{\infty }(M)$ 上的一个导子. 事实上, 向量场就被定义为这样的导子.
•	设 $M$ 是光滑流形. 则 $M$ 上的微分形式构成分次代数 ${\Omega }^{\bullet }(M)$, 外微分 $d$ 是其上的一个次数为 $1$ 的导子, $({\Omega }^{\bullet }(M),d)$ 构成微分分次代数.

3相关概念

•	导数
•	向量场
•	Kähler 微分
•	微分代数
•	微分分次代数

术语翻译

导子 • 英文 derivation • 德文 Derivation (f) • 法文 dérivation (f)