Kähler 微分

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

Kähler 微分是余切丛及微分形式在代数几何中的对应物.

1定义

定义 1.1 (环的 Kähler 微分). 环同态 $R\to A$ 的 Kähler 微分或称微分模, 也称 $A$ 在 $R$ 上的 Kähler 微分, 记作 ${\Omega }_{A/R}$, 指的是由记号 $\mathrm{d}a$, $a\in A$ 在关系

•	$\mathrm{d}(a+b)=\mathrm{d}a+\mathrm{d}b$;
•	$\mathrm{d}(ab)=a\mathrm{d}b+b\mathrm{d}a$;
•	$\mathrm{d}r=0$, $r\in R$;

下生成的 $A$-模. 换言之, $${\Omega }_{A/R}=\frac{{⨁}_{a\in A}A\mathrm{d}a}{(\mathrm{d}(a+b)-\mathrm{d}a-\mathrm{d}b{)}_{a,b\in A}+(\mathrm{d}(ab)-a\mathrm{d}b-b\mathrm{d}a{)}_{a,b\in A}+(\mathrm{d}r{)}_{r\in R}}.$$环 $A$ 的 Kähler 微分或称微分模指的是 $A$ 在 $\mathbb{Z}$ 上的 Kähler 微分, 也记作 ${\Omega }_A$.

注 1.2 (万有性质). 依定义立知 $A$ 到 ${\Omega }_{A/R}$ 的映射 $a\mapsto \mathrm{d}a$ 是 $R$-导子, 且是其中万有者. 换言之, 有对 $A$-模 $M$ 自然的同构$${\mathrm{Hom}}_A({\Omega }_{A/R},M)={\mathrm{Der}}_R(A,M),$$$$f\mapsto (a\mapsto f(\mathrm{d}a)).$$由 Yoneda 引理, 这完全刻画了 $A$-模 ${\Omega }_{A/R}$. 也可把这当作定义, 而把定义 1.1 当作构造.

注 1.3 (函子性). 显然对环同态 $R\to A\to A^{\prime }$ 有自然的 $A$-模同态 ${\Omega }_{A/R}\to {\Omega }_{A^{\prime }/R}$, 从而有 $A^{\prime }$-模同态 ${\Omega }_{A/R}{\otimes }_A{A}^{\prime }\to {\Omega }_{A^{\prime }/R}$. 对环同态 $R\to R^{\prime }\to A$ 有自然的 $A$-模同态 ${\Omega }_{A/R}\to {\Omega }_{A/R^{\prime }}$, 且为满射.

由下面的命题 2.1 和 2.2, Kähler 微分 ${\Omega }_{A/R}$ 在 $R$ 和 $A$ 的局部化下都表现良好, 因此可以对概形定义.

定义 1.4 (概形的 Kähler 微分). 概形态射 $f:X\to S$ 的 Kähler 微分, 也称 $X$ 在 $S$ 上的 Kähler 微分, 记作 ${\Omega }_{X/S}$, 指的是 $X$ 上的拟凝聚层, 满足对 $S$ 的仿射开集 $U=\mathrm{Spec}R$ 和 $f^{-1}(U)$ 的仿射开集 $V=\mathrm{Spec}A$, 其在 $V$ 上的取值为 ${\Omega }_{A/R}$. 由命题 2.1 和 2.2, 这的确给出 $X$ 上的拟凝聚层.

注 1.5. 由环的 Kähler 微分的万有性质与函子性容易得到概形 Kähler 微分的同样性质, 即

•	有自然的 $f^{-1}{\mathcal{O}}_S$-导子 ${\mathcal{O}}_X\to {\Omega }_{X/S}$, 诱导对 $X$ 上拟凝聚层 $\mathcal{F}$ 自然的同构$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}_X}({\Omega }_{X/S},\mathcal{F})={\mathrm{Der}}_{f^{-1}{\mathcal{O}}_S}({\mathcal{O}}_X,\mathcal{F}).$$这里 $f^{-1}{\mathcal{O}}_S$-导子指满足 Leibniz 法则的 $f^{-1}{\mathcal{O}}_S$-模层同态.
•	对概形态射 $g:X^{\prime }\to X$ 有自然的 ${\mathcal{O}}_{X^{\prime }}$-同态 $g^{\ast }{\Omega }_{X/S}\to {\Omega }_{X^{\prime }/S}$. 对 $f$ 的分解 $X\to S^{\prime }\to S$ 有自然的 ${\mathcal{O}}_X$-同态 ${\Omega }_{X/S}\to {\Omega }_{X/S^{\prime }}$, 且为满射.

上面定义的 Kähler 微分相当于余切丛, 即一阶微分. 高阶微分则定义为一阶微分的外积.

定义 1.6 (高阶 Kähler 微分). 对自然数 $i$, 环同态 $R\to A$ 的 $\mathbf{i}$ 阶 Kähler 微分或称 $\mathbf{i}$ 阶微分模, 也称 $A$ 在 $R$ 上的 $i$ 阶 Kähler 微分, 记作 ${\Omega }_{A/R}^i$, 指的是 $A$-模 ${\bigwedge }^i{\Omega }_{A/R}$, 即 ${\Omega }_{A/R}$ 在 $A$ 上的 $i$ 次外积. 对概形态射 $X\to S$ 也有同样的概念, 记作 ${\Omega }_{X/S}^i$, 指的是 $X$ 上拟凝聚层 ${\bigwedge }^i{\Omega }_{X/S}$, 即 ${\Omega }_{X/S}$ 在 ${\mathcal{O}}_X$ 上的 $i$ 次外积.

这里也有和微分形式一样的外微分操作.

定义 1.7 (外微分). 对自然数 $i$ 和环同态 $R\to A$, 外微分指 $R$-模同态$$\mathrm{d}:{\Omega }_{A/R}^i\to {\Omega }_{A/R}^{i+1},$$$$\mathrm{d}(a_0\mathrm{d}{a}_1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{a}_i)=\mathrm{d}{a}_0\wedge \mathrm{d}{a}_1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{a}_i.$$换言之, 它是自然映射 $\mathrm{d}:A\to {\Omega }_{A/R}$ 的 Koszul 复形. 不难验证其良定义, 对外积满足 Leibniz 法则, 且 ${\mathrm{d}}^2=0$. 对概形态射 $X\to S$ 也有同样的概念, 此时外微分是 $f^{-1}{\mathcal{O}}_S$-模层同态.

2性质

在研究 Kähler 微分时, 其万有性质非常方便.

命题 2.1 (基变换). 对环同态 $R\to A$, $R\to R^{\prime }$, 记 $A^{\prime }=A{\otimes }_R{R}^{\prime }$, 则有自然同构 ${\Omega }_{A^{\prime }/R^{\prime }}={\Omega }_{A/R}{\otimes }_A{A}^{\prime }$. 特别地, 如 $S$ 是 $R$ 中乘法子集, 则 ${\Omega }_{S^{-1}A/S^{-1}R}=S^{-1}{\Omega }_{A/R}$.

证明. 由万有性质只需对 $A^{\prime }$-模 $N$ 验证$${\mathrm{Der}}_{R^{\prime }}(A^{\prime },N)={\mathrm{Der}}_R(A,N).$$注意限制映射是左边到右边的映射, 反过来沿 $R\to R^{\prime }$ 标量延拓, 即 $d\mapsto (a\otimes r^{\prime }\mapsto r^{\prime }da)$ 是右边到左边的映射, 且它们显然互逆, 即得结论.

$\square$

命题 2.2 (局部化). 对环同态 $R\to A$ 及 $A$ 中乘法子集 $S$, ${\Omega }_{S^{-1}A/R}=S^{-1}{\Omega }_{A/R}$.

证明. 由万有性质只需对 $S^{-1}A$-模 $N$ 验证$${\mathrm{Der}}_R(S^{-1}A,N)={\mathrm{Der}}_R(A,N).$$注意限制映射是左边到右边的映射, 反过来 $d\mapsto (a/s\mapsto da/s-ads/s^2)$ 是右边到左边的映射, 且它们显然互逆, 即得结论.

$\square$

命题 2.3 (张量积). 对环同态 $R\to A$, $R\to B$, 记 $C=A{\otimes }_{R}B$, 则 ${\Omega }_{C/R}={\Omega }_{A/R}{\otimes }_{R}B\oplus A{\otimes }_R{\Omega }_{B/R}$.

证明. 由万有性质只需对 $C$-模 $N$ 验证$${\mathrm{Der}}_R(C,N)={\mathrm{Der}}_R(A,N)\times {\mathrm{Der}}_R(B,N).$$注意限制映射是左边到右边的映射, 反过来 $(d_A,d_B)\mapsto ((a\otimes b)\mapsto d_{A}a\otimes b+a\otimes d_{A}b)$ 是右边到左边的映射, 且它们显然互逆, 即得结论.

$\square$

命题 2.4. 如环同态 $R\to A$ 在环范畴中是满态射, 则 ${\Omega }_{A/R}=0$. 特别地, 局部化和环满射的微分模都是 $0$.

证明. 一般地, 对 $A$-模 $M$, 乘法映射 $M{\otimes }_{R}A\to M$ 总是满射, 所以只要 $M{\otimes }_{R}A=0$ 便有 $M=0$. 现由 $R\to A$ 是满态射, 有乘法映射 $A{\otimes }_{R}A\to A$ 是同构. 于是$${\Omega }_{A/R}{\otimes }_{R}A={\Omega }_{A{\otimes }_{R}A/A}={\Omega }_{A/A}=0,$$从而 ${\Omega }_{A/R}=0$.

$\square$

命题 2.5. 设环同态 $R\to A$ 有表现 $A=R[x_i{]}_{i\in I}/(f_j{)}_{j\in J}$. 则$${\Omega }_{A/R}=\frac{{⨁}_{i\in I}A\mathrm{d}{x}_i}{(\mathrm{d}{f}_j{)}_{j\in J}},$$其中$$\mathrm{d}{f}_j=\sum _{i\in I}\frac{\partial f_j}{\partial x_i}\mathrm{d}{x}_i\in \underset{i\in I}{⨁}A\mathrm{d}{x}_i.$$特别地, 如 $R\to A$ 有限型, 则 ${\Omega }_{A/R}$ 为有限型 $A$-模; 如 $R\to A$ 有限表现, 则 ${\Omega }_{A/R}$ 为有限表现 $A$-模.

证明. 由 Leibniz 法则, $A$ 的 $R$-导子由其在一组 $R$-生成元的值决定. 由此不难发现 $\frac{{⨁}_{i\in I}A\mathrm{d}{x}_i}{(\mathrm{d}{f}_j{)}_{j\in J}}$ 满足 Kähler 微分的万有性质.

$\square$

下面的定理给出 Kähler 微分的另一个定义, 其好处是在概形情形可以整体定义, 而不用先在仿射开集做然后粘合.

定理 2.6. 对环同态 $R\to A$, 记 $I_{A/R}=\ker (A{\otimes }_{R}A\to A)$ 为对角线映射也即乘法映射的核. 则 $I_{A/R}$ 是 $A{\otimes }_{R}A$-模, 基变换 $I_{A/R}{\otimes }_{A{\otimes }_{R}A}A=I_{A/R}/I_{A/R}^2$ 是 $A$-模. $A$ 到它的映射$$a\mapsto \overline{1\otimes a-a\otimes 1}$$是 $R$-导子, 且诱导的映射 ${\Omega }_{A/R}\to I_{A/R}/I_{A/R}^2$ 是同构. 换言之, ${\Omega }_{A/R}$ 可以定义为 $I_{A/R}/I_{A/R}^2$.

对概形态射 $X\to S$, 对角线 ${\Delta }_{X/S}:X\to X{\times }_{S}X$ 总是浸入, . 令 $U$ 为 $X{\times }_{S}X$ 中闭集 $\overline{{\Delta }_{X/S}}\setminus {\Delta }_{X/S}$ 之补, 视为开子概形, 则 ${\Delta }_{X/S}$ 是到 $U$ 的闭浸入. 令 ${\mathcal{I}}_{X/S}$ 为此闭浸入的理想层, 则 ${\mathcal{I}}_{X/S}/{\mathcal{I}}_{X/S}^2={\Delta }_{X/S}^{\ast }{\mathcal{I}}_{X/S}$ 可视为 $X$ 上拟凝聚层. 此时也有自然同构 ${\Omega }_{X/S}={\mathcal{I}}_{X/S}/{\mathcal{I}}_{X/S}^2$.

证明. 定理的概形部分不难由环的部分粘合而得, 故只需证环的部分. 为此需要证明 $a\mapsto \overline{1\otimes a-a\otimes 1}$ 诱导对 $A$-模 $M$ 自然的同构$${\mathrm{Hom}}_A(I_{A/R}/I_{A/R}^2,M)={\mathrm{Der}}_R(A,M).$$考虑环 $T_M=A\oplus M$, 定义为 $(a,m)(a^{\prime },m^{\prime })=(a{a}^{\prime },a{m}^{\prime }+a^{\prime }m)$. 直和投影 $p_M:T_M\to A$ 是 $A$-同态, 其核 $I_M$ 满足 $I_M^2=0$, 且 $I_M$ 作为 $T_M/I_M=A$ 上的模就是 $M$; 直和含入 $i_M:A\to T_M$ 也是 $A$-同态. 沿 $i_M$ 把 $T_M$ 视为 $A$-代数从而视为 $R$-代数, 则导子的定义恰好说明映射$${\mathrm{Der}}_R(A,M)\to \{i\in {\mathrm{Hom}}_R(A,T_M)\mid p_M\circ i=\mathrm{id}\}$$$$d\mapsto (a\mapsto (a,da))$$是双射. 现对导子 $d$ 记其对应同态为 $i_d:A\to T_M$, 并考虑同态 $f:A{\otimes }_{R}A\to T_M$, 在第一个 $A$ 是 $i_M$, 在第二个 $A$ 是 $i_d$. 则对任一 $a\in A$, $$f(1\otimes a-a\otimes 1)=i_d(a)-i_M(a)=(a,da)-(a,0)=(0,da)\in I_M,$$从而 $f$ 诱导映射 $I_{A/R}\to I_M$. 注意 $I_M$ 的 $A{\otimes }_{R}A$-模结构就是 $M$ 沿 $A{\otimes }_{R}A\to A$ 视为 $A{\otimes }_{R}A$-模, 知 $f$ 诱导 $A$-模同态 $I_{A/R}/I_{A/R}^2\to M$. 这样我们就得到从 ${\mathrm{Der}}_R(A,M)$ 到 ${\mathrm{Hom}}_A(I_{A/R}/I_{A/R}^2,M)$ 的映射. 注意整个过程每一步都可逆, 故它是双射; 由以上对 $f(1\otimes a-a\otimes 1)$ 的计算易知它就是 $A$ 到 $I_{A/R}/I_{A/R}^2$ 的导子 $a\mapsto \overline{1\otimes a-a\otimes 1}$ 诱导的映射之逆.

$\square$

命题 2.7. 对环同态 $R\to A\to B$, $$0\to {\Omega }_{A/R}{\otimes }_{A}B\to {\Omega }_{B/R}\to {\Omega }_{B/A}\to 0$$右正合. 如 $A\to B$ 是满射, 核为 $I$, 则$$0\to I/I^2\to {\Omega }_{A/R}{\otimes }_{A}B\to {\Omega }_{B/R}\to 0$$右正合, 且当 $A\to B$ 有截面时为分裂正合. 这里第一个映射为 $I$ 到 ${\Omega }_{A/R}$ 的映射 $a\mapsto \mathrm{d}a$ 基变换到 $B$.

证明. 由定义 1.1 可直接看出$${\Omega }_{A/R}{\otimes }_{A}B\to {\Omega }_{B/R}\to {\Omega }_{B/A}\to 0$$正合. 同样可直接看出如 $A\to B$ 是满射, 则 $\ker ({\Omega }_{A/R}\to {\Omega }_{B/R})$ 作为 $A$-模由 $\mathrm{d}a$, $a\in I$ 生成. 基变换到 $B$ 便知$$I/I^2\to {\Omega }_{A/R}{\otimes }_{A}B\to {\Omega }_{B/R}\to 0$$正合. 如 $f:A\to B$ 有截面, 记其为 $s$, 则 $A=B\oplus I$. 于是有 $A$ 到 $I/I^2$ 的导子 $a\mapsto \overline{a-s(f(a))}$, 诱导 $A$-模同态 ${\Omega }_{A/R}\to I/I^2$, 即 $B$-模同态 ${\Omega }_{A/R}{\otimes }_{A}B\to I/I^2$, 不难验证其为映射 $I/I^2\to {\Omega }_{A/R}{\otimes }_{A}B$ 之左逆, 于是$$0\to I/I^2\to {\Omega }_{A/R}{\otimes }_{A}B\to {\Omega }_{B/R}\to 0$$分裂正合.

$\square$

注 2.8. 命题 2.7 中, 如 $A\to B$ 形式光滑, 则第一个复形正合; 如 $R\to B$ 形式光滑, 则第二个复形正合. 参见条目形式光滑同态及朴素余切复形.

注 2.9. 本节中这些对环陈述的命题显然对概形也都成立, 为简明起见就不逐一对概形再写一遍了.

3例子

•	设 $A$ 为 $R$ 上多项式环即 $A=R[x_i{]}_{i\in I}$. 则 ${\Omega }_{A/R}$ 为 $A$ 上自由模, 由 $\mathrm{d}{x}_i$, $i\in I$ 自由生成. 这不论用原始定义还是万有性质都很容易看出.

4推广

在环同态 $R\to A$ 不光滑时, Kähler 微分表现欠佳. 此时正确的对象是余切复形, 它亦可对概形定义.

5相关概念

•	导子
•	余切复形
•	非分歧态射
•	平展态射
•	光滑态射
•	形变理论
•	代数 de Rham 上同调
•	微分分次代数

术语翻译

Kähler 微分 • 英文 Kähler differential • 德文 Kähler-Differential • 法文 différentielle de Kähler