半群作用同余

$\mathbf{S}$-同余是 $S$-系上在幺半群 $S$ 作用下不变的等价关系, 用来诱导商 $S$-系.

$S$-同余可以视为同余概念的推广.

1定义

定义 1.1 ($S$-同余). 设 $\lambda$ 是左 $S$-系 $A$ 上的等价关系, 倘若对任意 $s\in S$, 有$$（a,b)\in \lambda ⟹(sa,sb)\in \lambda ,\forall a,b\in A$$那么称 $\lambda$ 为 $A$ 上的同余.

同样地可以对右 $S$-系定义同余.

2性质

利用 $S$-同余可以诱导商 $S$-系. 可以通过直接验证得到

命题 2.1. $\lambda$ 是左 $S$-系 $A$ 上的同余. 若在商集 $A/\lambda$ 上定义$$s(a\lambda )=(sa)\lambda ,\forall s\in S,a\in A,$$则 $A/\lambda$ 成为左 $S$-系, 称为 $A$ 关于 $\lambda$ 的商系. 其中 $a\lambda$ 表示 $a$ 在等价关系 $\lambda$ 下的等价类 $[a{]}_{\lambda }$.

3例子

•	自然数集 $\mathbb{N}$ 关于普通乘法构成一幺半群, 自然是一个 $\mathbb{N}$-系. 现在对自然数 $m$ 定义等价关系 ${\lambda }_m$ 为$$(a,b)\in {\lambda }_m⟺a\equiv b(\mathrm{mod}m),$$则 ${\lambda }_m$ 是一个 $\mathbb{N}$-同余. 这说明 $S$-同余确实是同余概念的推广.

4相关概念

•	$S$-系
•	子 $S$-系
•	商 $S$-系
•	序 $S$-系
•	序 $S$-同余
•	Rees 同余
•	Rees 商
•	循环 $S$-系
•	可分 $S$-系
•	不可分 $S$-系
•	投射 $S$-系
•	拟投射 $S$-系
•	内射 $S$-系
•	拟内射 $S$-系
•	弱内射 $S$-系
•	正则 $S$-系
•	平坦 $S$-系
•	强平坦 $S$-系
•	弱平坦 $S$-系
•	主弱平坦 $S$-系

•	正则幺半群
•	完全左投射幺半群
•	左 PP 幺半群
•	完全左内射幺半群
•	左绝对平坦幺半群
•	周期幺半群
•	左完全幺半群