等价类

在一个带有等价关系的集合中, 与某个元素相等价的所有元素的集合称为等价类.

在等价关系 $R$ 下, $a$ 元素的等价类有时用 $[a{]}_R$ 表示, 在无歧义的情况下可省略下标.

每一个等价关系自然地生成一族等价类, 原集合是所有等价类不交并, 也自然生成对于集合的一种分划.

1定义

定义 1.1 (等价类). 我们称集合 $S$ 上二元关系 $\sim$ 是等价关系, 如果其满足下列性质:

•	自反性: 对任意 $a\in S$, 有 $a\sim a$.
•	对称性: 对任意 $a,b\in S$, 若 $a\sim b$, 则 $b\sim a$.
•	传递性: 对任意 $a,b,c\in S$, 若 $a\sim b$ 且 $b\sim c$, 则 $a\sim c$.

定义 1.2 (等价类). 给定集合 $S$ 上等价关系 $\sim$. 对任意 $a\in S$, 我们称 $S$ 的子集$$[a]=\{b\in S\mid a\sim b\}$$为 $a$ 在 $\sim$ 下的等价类.

2例子

•	集合 $S$ 上的 “相等” 关系是等价关系, 其等价类是所有单点子集.
•	“绝对值相等” 是实数集 $\mathbb{R}$ 上的等价关系. $[a]=\{+a,-a\}$ 是等价类.
•	对任意整数 $n\in \mathbb{Z}$, “模 $n$ 同余” 是整数集 $\mathbb{Z}$ 上的等价关系. 整数集被分划为 $n$ 个等价类, 与 $k(1\le k\le n)$ 同余的所有数构成一个等价类.
•	“相互平行” 是 Euclid 平面中 直线间的等价关系. 所有与某个向量平行的直线构成等价类.
•	一般地, 对集合间的映射 $f:S\to T$, “被 $f$ 映到同一元素” 是 $S$ 上的等价关系, 其等价类为 $T$ 中单点子集的原像. 事实上, 所有等价关系都能以这种方式得到.
•	一般地, 对于集合的一种分划, 可以将每一个分划出的子集认为是一个等价类, 从而自然给出一种等价关系, 即 $a\sim b$ 当且仅当 $a$ 与 $b$ 被分划入同一个集合.

3性质

命题 3.1. 一个带有等价关系的集合 $(S,\sim )$ 是所有等价类的不交并.

证明. 对于元素 $a,b$, 我们要证明 $[a]=[b]$ 或者 $[a]\cap [b]=\varnothing$ 成立. 如果 $c\in [a]\cap [b]$, 那么就有 $a\sim c\sim b$, 于是 $a$ 与 $b$ 等价, 二者的等价类也就相同.

$\square$

4相关概念

•	等价关系
•	分划
•	商

术语翻译

等价关系 • 英文 equivalence relation • 德文 Äquivalenzrelation • 法文 relation d’équivalence

等价类 • 英文 equivalence class • 德文 Äquivalenzklasse • 法文 classe d’équivalence