核 (代数)

关于其它含义, 请参见 “核”.

一个映射 $f:X\to Y$ 的核是被 $f$ 映到零元 $0\in Y$ 的元素的集合, 通常记为$$\ker f=\{x\in X\mid f(x)=0\},$$这里 $Y$ 带有某种代数结构, 使得零元 $0\in Y$ 的概念是有意义的.

与核对偶的概念是余核.

1例子

对带点集合的映射

带点集合的映射的核是一种基本的核.

定义 1.1 (带点集合, 标记点). 带点集合是指一个二元组 $(X,\ast )$, 其中 $X$ 是集合, $\ast \in X$ 是一个元素, 称为标记点. 带点集合之间的映射要求把标记点映到标记点.

定义 1.2 (带点集合的映射的核). 设 $f:(X,{\ast }_X)\to (Y,{\ast }_Y)$ 是带点集合的映射 (定义 1.1). 则 $f$ 的核定义为$$\ker f=f^{-1}({\ast }_Y).$$

对群同态

群同态的核是带点集合的映射的核 (定义 1.2) 的特例, 我们将群的单位元视作标记点.

定义 1.3 (群同态的核). 设 $f:G\to H$ 是群同态. 则 $f$ 的核定义为$$\ker f=f^{-1}(e),$$其中 $e$ 是 $H$ 的单位元.

群同态 $f:G\to H$ 的核是 $G$ 的子群.

对环同态

环同态的核是群同态的核 (定义 1.3) 的特例, 这里考虑的是环的加法群.

定义 1.4 (环同态的核). 设 $f:A\to B$ 是环同态. 则 $f$ 的核定义为$$\ker f=f^{-1}(0).$$

环同态 $f:A\to B$ 的核是 $A$ 的双边理想.

对模同态

模同态的核是群同态的核 (定义 1.3) 的特例, 这里考虑的是模的加法群.

定义 1.5 (模同态的核). 设 $A$ 是环, $f:M\to N$ 是 $A$-左模之间的同态. 则 $f$ 的核定义为$$\ker f=f^{-1}(0).$$

模同态 $f:M\to N$ 的核是 $M$ 的子模.

对线性映射

在定义 1.5 中, 如果 $A$ 是域, 那么 $A$-模就是 $A$-向量空间, 该定义可以重新叙述如下.

定义 1.6 (线性映射的核). 设 $\mathbb{k}$ 是域, $f:V\to W$ 是 $\mathbb{k}$-线性映射. 则 $f$ 的核定义为$$\ker f=f^{-1}(0).$$

线性映射 $f:V\to W$ 的核是 $V$ 的线性子空间.

2一般定义

定义 2.1 (核). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, 带有零对象 $0\in \mathcal{C}$. 设 $f:X\to Y$ 是 $\mathcal{C}$ 中的态射. 则 $f$ 的核 (如果存在) 定义为以下拉回: 有时, 我们也将上述图表中的态射 $\ker f\to X$ 称为 $f$ 的核.

注 2.2. 定义 2.1 中的拉回可以等价地表述为下面的泛性质: 对任意态射 $g:Z\to X$, 如果 $f\circ g=0$, 那么存在唯一态射 $Z\to \ker f$, 使得复合态射 $Z\to \ker f\to X$ 等于 $g$.

注 2.3. 如果要将环同态的核 (定义 1.4) 视为定义 2.1 的特例, 就需要考虑无幺环的范畴, 因为环同态的核不再具有幺元.

3相关概念

•	纤维
•	同伦纤维

术语翻译

核 • 英文 kernel • 德文 Kern (m) • 法文 noyau (m) • 拉丁文 nucleus (m) • 古希腊文 πυρήν (m)