同调维数

同调维数是 Abel 范畴的半边正合函子不正合程度的粗略度量, 指的是其导出函子的最远延伸. 它亦可直接对导出范畴的函子定义.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 是 Abel 范畴, $\mathcal{A}$ 有足够投射对象. 设 $F:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 是右正合函子, 则其有左导出函子 $L_{n}F$. 对 $M\in \mathcal{A}$, $M$ 的 $F$-(同调) 维数定义为$$\sup \{n\in \mathbb{N}\mid L_{n}F(M)\ne 0\}.$$$F$ 的同调维数定义为 $\mathcal{A}$ 中所有对象的 $F$-维数的上确界, 即$$\sup \{n\in \mathbb{N}\mid L_{n}F\ne 0\},$$其中 $0$ 表示零函子.

如 $\mathcal{A}$ 有足够内射对象, $F$ 是左正合函子, 也可定义一样的概念, 此时也称同调维数为上同调维数.

依定义, $F$-零调就是 $F$-维数等于 $0$.

定义 1.2. Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 的同调维数指的是$$\sup \{n\in \mathbb{N}\mid \exists M,N\in \mathcal{A},{\mathrm{Ext}}^n(M,N)\ne 0\}.$$由于有 Yoneda $\mathrm{Ext}$, 这里无需假设 $\mathcal{A}$ 有足够投射或内射. 环 $R$ 的左 (右) 整体维数指的是左 (右) $R$-模范畴的同调维数. 详细参见主条目整体维数.

依定义, 对非零对象, 这些维数取值在 $\mathbb{N}\cup \{\infty \}$. 通常不对 $0$ 讨论同调维数, 也可将 $0$ 的同调维数约定为 $-1$ 或 $-\infty$.

2性质

记号沿上, 设 $F$ 右正合, 将 $M$ 的 $F$-维数记作 $d_F(M)$. 左正合情形完全对偶.

命题 2.1. 对短正合列$$0\to N\to M\to Q\to 0,$$有 $d_F(M)\le \max \{d_F(N),d_F(Q)\}$, $d_F(N)\le \max \{d_F(M),d_F(Q)\}$, $d_F(Q)\le \max \{d_F(M),d_F(N)+1\}$. 如果 $d_F(M)<d_F(Q)$, 则 $d_F(Q)=d_F(N)+1$.

证明. 对短正合列作用 $F$ 的导出函子, 写出对应的长正合列, 即得结论.

$\square$

命题 2.2. $M$ 的 $F$-维数就是 $M$ 的 $F$-零调消解的最短长度, 即$$d_F(M)=\inf \{n\in \mathbb{N}\mid 存在正合列0\to A_n\to \cdots \to A_0\to M\to 0,各A_i为F\text{-}零调\}.$$此外, 对任意 $n\ge d_F(M)$ 以及正合列$$0\to A_n\to \cdots \to A_0\to M\to 0,$$只要 $A_0,\dots ,A_{n-1}$ 为 $F$-零调, $A_n$ 也就为 $F$-零调.

证明. 小于等于比较显然: 如有 $F$-零调消解$$0\to A_n\to \cdots \to A_0\to M\to 0,$$则由于零调消解可以计算导出函子, 有$$L_{i}F(M)=H_i(0\to F(A_n)\to \cdots F(A_0)\to 0),$$自然在 $i>n$ 时为 $0$. 欲证大于等于, 只需证定理的后一句话, 因为这样一来任取部分零调消解$$A_{d_F(M)-1}\to \cdots \to A_0\to M\to 0$$并令 $A_{d_F(M)}$ 为以上最左边箭头的核, 即可得到长度为 $d_F(M)$ 的零调消解. 对后一句话我们对 $n$ 归纳. $n=0$ 时 $A_0\cong M$, 而 $d_F(M)=0$ 的意思就是 $M$ 零调, 即 $A_0$ 零调. 设 $n>0$, 命题对 $n-1$ 成立, 令 $K=\ker (A_0\to M)$. 对短正合列$$0\to K\to A_0\to M\to 0$$用命题 2.1 最后一句话, 得 $d_F(K)\le \max \{d_F(M)-1,0\}$. 对正合列$$0\to A_n\to \cdots \to A_1\to K\to 0$$用归纳假设即得结论.

$\square$

命题 2.3. $F$ 的同调维数等于$$\inf \{n\in \mathbb{N}\mid L_{n+1}F=0\}.$$

证明. 只需证只要 $L_{n}F=0$ 就有 $L_{n+1}F=0$, 因为这样集合 $\{n\in \mathbb{N}\mid L_{n}F=0\}$ 就一定形如 $\{n\in \mathbb{N}\mid n>d\}$, 即得结论. 现设 $L_{n}F=0$, 其中 $n$ 是正整数. 对任一 $M\in \mathcal{A}$, 取投射对象 $P$ 映满 $M$, 作短正合列$$0\to K\to P\to M\to 0.$$对其作用 $F$, 写出导出函子长正合列, 即知 $L_{n+1}F(M)\cong L_{n}F(K)$. 由于 $L_{n}F=0$, 这推出 $L_{n+1}F(M)=0$. $M$ 是任意的, 故 $L_{n+1}F=0$.

$\square$

命题 2.4. $F:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$, $G:\mathcal{B}\to \mathcal{C}$ 是有足够投射对象的 Abel 范畴间的右正合函子, 满足 $F$ 将投射对象映到 $G$-零调对象. 则复合函子 $GF$ 的同调维数不大于 $F$ 和 $G$ 的同调维数之和.

证明. 这是 Grothendieck 谱序列的直接推论.

$\square$

3例子

•	线性空间范畴的同调维数是 $0$. 一般地, 半单范畴的同调维数是 $0$.
•	$\mathsf{Ab}$ 的同调维数是 $1$.
•	模 $M$ 的投射维数、内射维数、平坦维数分别是函子 $\mathrm{Hom}(M,-)$, $\mathrm{Hom}(-,M)$, $-\otimes M$ 的同调维数.

4相关概念

•	$t$-结构
•	投射维数
•	内射维数
•	平坦维数
•	整体维数
•	$\mathrm{Tor}$-维数

术语翻译

(上) 同调维数 • 英文 (co)homological dimension • 德文 (ko)homologische Dimension • 法文 dimension (co)homologique • 拉丁文 dimensio (co)homologica • 古希腊文 (συν)ὁμολογικὴ διάστασις