投射维数

在有足够投射对象的 Abel 范畴中, 投射维数衡量一个对象离投射有多远.

1定义

定义 1.1. $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, 有足够投射对象, $M\in \mathcal{A}$. $M$ 的投射维数 $\mathrm{pd}(M)$ 指的是函子 $\mathrm{Hom}(M,-)$ 的同调维数. 换言之, $$\mathrm{pd}(M)=\sup \{n\in \mathbb{N}\mid {\mathrm{Ext}}^n(M,-)\ne 0\}.$$

注 1.2. 依定义, $\mathrm{pd}(M)$ 也是 ${\mathcal{A}}^{\text{op}}$ 到 $\mathsf{Fun}(\mathcal{A},\mathsf{Ab})$ 的函子 $M\mapsto \mathrm{Hom}(M,-)$ 下, 对象 $M$ 的同调维数.

2性质

记号沿上.

命题 2.1. 对短正合列$$0\to N\to M\to Q\to 0,$$有 $\mathrm{pd}(M)\le \max \{\mathrm{pd}(N),\mathrm{pd}(Q)\}$, $\mathrm{pd}(N)\le \max \{\mathrm{pd}(M),\mathrm{pd}(Q)\}$, $\mathrm{pd}(Q)\le \max \{\mathrm{pd}(M),\mathrm{pd}(N)+1\}$. 如果 $\mathrm{pd}(M)<\mathrm{pd}(Q)$, 则 $\mathrm{pd}(Q)=\mathrm{pd}(N)+1$.

命题 2.2. $M$ 的投射维数就是其投射消解的最短长度, 即$$\mathrm{pd}(M)=\inf \{n\in \mathbb{N}\mid 存在正合列0\to P_n\to \cdots \to P_0\to M\to 0,各P_i投射\}.$$此外, 对任意 $n\ge \mathrm{pd}(M)$ 以及正合列$$0\to P_n\to \cdots \to P_0\to M\to 0,$$只要 $P_0,\dots ,P_{n-1}$ 投射, $P_n$ 也就投射.

命题 2.3. $$\mathrm{pd}(M)=\inf \{n\in \mathbb{N}\mid {\mathrm{Ext}}^{n+1}(M,-)=0\}.$$特别地, $M$ 投射当且仅当 ${\mathrm{Ext}}^1(M,-)=0$.

考虑到注 1.2, 这些命题是同调维数条目对应命题的立即推论.

以下是关于环上模的一些具体结论.

命题 2.4. 环上模的投射维数大于等于平坦维数. 对 Noether 环上的有限生成模, 这两维数相等.

证明. 第一句话是因为命题 2.2、平坦维数的对应命题、环上投射模都平坦. 第二句话则是因为 Noether 环有限生成模的子模有限生成, 消解时总可使用有限生成模; 然后 Noether 环上有限生成模有限表现, 而有限表现平坦模和有限生成投射模是一回事.

$\square$

3例子

•	投射对象就是投射维数 $0$ 的对象.
•	由于主理想整环上自由模的子模自由, 由命题 2.2 即知主理想整环上模的投射维数至多是 $1$. 在 $\mathsf{Ab}$ 中, $\mathbb{Z}/n$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 的投射维数都是 $1$. 注意 $\mathbb{Q}$ 是平坦 $\mathbb{Z}$-模; 由此可见投射维数可以严格大于平坦维数.
•	$\mathbb{Z}/2$ 作为 $\mathbb{Z}/4$-模的投射维数是 $\infty$.

4相关概念

•	同调维数
•	整体维数

术语翻译

投射维数 • 英文 projective dimension • 德文 projektive Dimension • 法文 dimension projective • 拉丁文 dimensio proiectiva • 古希腊文 προϊετικὴ διάστασις