整体维数

环的整体维数是其同调复杂性的一个度量, 指的是其模范畴中 $\mathrm{Ext}$ 函子的最远延伸, 也即其中 “本质不分裂” 的正合列的最大长度.

1定义

定义 1.1. 环 $R$ 的左 (右) 整体维数, 记作 $l.gl.\dim R$ ($r.gl.\dim R$), 指的是左 (右) $R$-模范畴的同调维数, 即$$l.gl.\dim R=\sup \{n\in \mathbb{N}\mid \exists M,N\in R\text{-}\mathsf{Mod},{\mathrm{Ext}}^n(M,N)\ne 0\}.$$无歧义时常常省去名称和记号中的左 (右).

通常不讨论零环的整体维数, 或将其约定为 $-1$ 或 $-\infty$. 依以上定义, 非零环的同调维数取值在 $\mathbb{N}\cup \{\infty \}$.

2性质

命题 2.1. 环 $R$ 的左整体维数是其各左模投射维数的上确界, 也是它们内射维数的上确界, 即$$l.gl.\dim R=\sup \{{\mathrm{pd}}_R(M)\mid M\in R\text{-}\mathsf{Mod}\}=\sup \{{\mathrm{id}}_R(M)\mid M\in R\text{-}\mathsf{Mod}\}.$$

证明. 依定义显然.

$\square$

命题 2.2. $$gl.\dim R=\inf \{n\in \mathbb{N}\mid {\mathrm{Ext}}^{n+1}(-,-)=0\}.$$特别地, $gl.\dim R=0$ 等价于所有左 $R$-模短正合列分裂, 即 $R$ 半单.

证明. 由命题 2.1, 这是投射维数或内射维数对应命题的直接推论.

$\square$

以下命题说明算整体维数时只需检查很少一部分模.

命题 2.3. 环 $R$ 的左整体维数等于其单生成左模投射维数的上确界, 即$$l.gl.\dim R=\sup \{\mathrm{pd}(R/J)\mid J\subseteq R左理想\}=\inf \{n\in \mathbb{N}\mid \forall J\subseteq R左理想,{\mathrm{Ext}}^{n+1}(R/J,-)=0\}.$$

证明. 这是内射维数对应命题的立即推论.

$\square$

命题 2.4. 环的左整体维数大于等于其 $\mathrm{Tor}$-维数. 对左 Noether 环此二维数相等. 特别地, 双边 Noether 环的左右整体维数相等, 都等于 $\mathrm{Tor}$-维数.

证明. 第一句话是因为模的投射维数大于等于平坦维数. 第二句话是因为由命题 2.3 我们只需检查单生成左模的投射维数; 而它们的投射维数等于平坦维数.

$\square$

3例子

•	上面命题中已经指出, 左整体维数为 $0$ 的环恰是半单环. 特别地, 左整体维数为 $0$ 和右整体维数为 $0$ 等价.
•	$\mathbb{Z}$ 的整体维数是 $1$. $\mathbb{Z}/4$ 的整体维数是 $\infty$, 因为它的模 $\mathbb{Z}/2$ 显然没有有限投射消解.
•	Serre 证明了 Noether 局部交换环的整体维数有限当且仅当其是正则环. 这是以同调方法研究交换代数的开端.
•	一般情况下左右整体维数未必相等. 上三角矩阵环 $\left[\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& \mathbb{Q}\\ 0& \mathbb{Q}\end{array}\right]$ 左整体维数是 $2$, 右整体维数和 $\mathrm{Tor}$-维数一样是 $1$.
•	左右整体维数也可以都大于 $\mathrm{Tor}$ 维数. 赋值环的 $\mathrm{Tor}$ 维数总是 $1$, 但其中不离散者整体维数常大于 $1$, 例如 ${\mathbb{Z}}_p$ 在 ${\mathbb{Q}}_p$ 代数闭包中的整闭包.

4相关概念

•	同调维数
•	投射维数
•	内射维数
•	$\mathrm{Tor}$-维数

术语翻译

整体维数 • 英文 global dimension • 德文 globale Dimension • 法文 dimension globale