外代数

向量空间 $V$ 的外代数是一个结合代数, 通常记为 $Λ^{∙} (V)$ , 它由形如 $v_{1} \land \dots \land v_{n} (v_{i} \in V)$ 的元素张成, 其中 $n$ 是任何自然数, 并且乘积 $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ 满足反交换律, 即在乘积中交换两个相邻元素会使乘积变为其相反数.

外代数有时也被称为 Graßmann 代数.

1定义
外代数
分次外代数
2性质
3例子
4相关概念

1定义

外代数

定义 1.1 (外代数). 设 $A$ 是交换环, $V$ 是 $A$ -模. 则 $V$ 的外代数定义为结合代数 $Λ^{∙} (V) = \frac{T ^{∙} ( V )}{( v \otimes v )},$ 其中 $T^{∙} (V)$ 是 $V$ 的张量代数, 分母是由所有形如 $v \otimes v$ ( $v \in V$ ) 的元素生成的 $T^{∙} (V)$ 的双边理想.

这样, 我们有 $Λ^{∙} (V) ≃ n \geq 0 ⨁ Λ^{n} (V),$ 其中 $Λ^{n} V$ 是由形如 $v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n}$ ( $v_{i} \in V$ ) 的元素张成的子模, 称为 $V$ 的 $n$ 次外积. 此时 $v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n}$ 在 $Λ^{n} V$ 中的像记为 $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ .

分次外代数

(...)

2性质

命题 2.1 (维数). 设 $A = k$ 是域, $V$ 是 $m$ 维线性空间, 则 $Λ^{n} (V)$ 的维数为 $dim Λ^{n} (V) = (n m) .$ $Λ^{∙} (V)$ 的分次维数为 $gr dim Λ^{∙} (V) = (1 + q)^{m} .$

命题 2.2. $Λ^{∙}$ 与基变换可交换: 设 $B$ 是 $A$ -代数, 则 $Λ_{B}^{∙} (B \otimes_{A} M) ≃ B \otimes_{A} Λ_{A}^{∙} (M) .$

命题 2.3. $Λ$ 与余极限可交换: 设 $A = colim A_{i}$ , $M = colim M_{i}$ , 则 $Λ (M) = colim Λ_{A_{i}}^{∙} (M_{i})$ .

命题 2.4. 对 $A$ -模 $W$ , 有自然的双射 $Hom (Λ^{n} (V), W) ≃ A_{n} (V^{n}; W) .$ 其中 $A_{n} (V^{n}; W)$ 表示从 $V^{n}$ 到 $W$ 的 $n$ 重交错线性映射.

命题 2.5. 复合 $A_{t}^{n} (V) ↪ T^{n} (V) \to S^{n} (V)$ 为乘以 $n!$ , 其中 $A_{t}^{n} (V)$ 是交错 $n$ 张量. 特别地, 若 $n!$ 在 $A$ 中可逆, 则它是同构.

命题 2.6. 对 $A$ -模 $V, W$ , 以及双线性型 $α : V \times W \to A$ , $α$ 可以延拓到 $Λ^{∙} V \times Λ^{∙} W$ 上, $α_{k} : Λ^{k} V \times Λ^{k} W (v_{1} \land \dots \land v_{k}, w_{1} \land \dots \land w_{k}) ⟶ A, ⟼ det [α (v_{i}, w_{j})]_{1 \leq i, j \leq k} .$

如果

V, W

都是有限秩自由模, 且

α

是非退化的, 那么

α_{k}

也是非退化的. 这对有限秩自由模

V

给出了同构

Λ^{k} (V^{\lor}) ≃ (Λ^{k} V)^{\lor} ≃ A_{k} (V)

. 其中

A_{k} (V)

是交错

k

线性型.

(...)

3例子

•	$n$ 维环面 $T^{n}$ 的上同调环 $H^{∙} (T^{n}, A)$ 即为外代数 $Λ^{∙} (A^{\oplus n})$ .

4相关概念

•	外积
•	对称代数
•	Clifford 代数

术语翻译

外代数 • 英文 exterior algebra • 德文 äußere Algebra • 法文 algèbre extérieure

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