对称代数

向量空间 $V$ 的对称代数是一个交换代数, 通常记为 $\mathrm{Sym}(V)$ 或 $\mathrm{S}(V)$, 它由形如$$v_1\cdots v_n(v_i\in V)$$的元素张成, 其中 $n$ 是任何自然数, 并且乘积 $v_1\cdots v_n$ 满足交换律, 即不取决于相乘的顺序.

1定义

对称代数

定义 1.1 (对称代数). 设 $A$ 是交换环, $V$ 是 $A$-模. 则 $V$ 的对称代数定义为交换代数$${\mathrm{Sym}}^{\bullet }(V)=\frac{{\mathrm{T}}^{\bullet }(V)}{(v\otimes w-w\otimes v)},$$其中 ${\mathrm{T}}^{\bullet }(V)$ 是 $V$ 的张量代数, 分母是由所有形如 $v\otimes w-w\otimes v$ ($v,w\in V$) 的元素生成的 ${\mathrm{T}}^{\bullet }V$ 的双边理想.

这样, 我们有$${\mathrm{Sym}}^{\bullet }(V)\simeq \underset{n\ge 0}{⨁}{\mathrm{Sym}}^n(V),$$其中 ${\mathrm{Sym}}^n(V)$ 是由形如 $v_1\otimes \cdots \otimes v_n$ ($v_i\in V$) 的元素张成的子模, 称为 $V$ 的 $n$ 次对称积.

注 1.2. 在定义 1.1 中, 对称代数 ${\mathrm{Sym}}^{\bullet }(V)$ 可以看成 $V$ 生成的自由交换代数, 它是遗忘函子 $A\text{-}\mathsf{CAlg}\to A\text{-}\mathsf{Mod}$ 的左伴随, 其中 $A\text{-}\mathsf{CAlg}$ 是 $A$-交换代数的范畴. 这是自由–遗忘伴随的一个例子.

分次对称代数

(...)

2性质

命题 2.1 (维数). 设 $A=\mathbb{k}$ 是域, $V$ 是 $m$ 维线性空间, 则 ${\mathrm{Sym}}^n(V)$ 的维数为$$\dim {\mathrm{Sym}}^n(V)=\left(\begin{array}{c}n+m-1\\ n\end{array}\right).$$${\mathrm{Sym}}^{\bullet }(V)$ 的分次维数为$$\mathrm{gr}\dim {\mathrm{Sym}}^{\bullet }(V)=\frac{1}{(1-q{)}^m}.$$

命题 2.2. 对 $A$-模 $W$, 有自然的双射$$\mathrm{Hom}({\mathrm{Sym}}^n(V),W)\simeq S_n(V^n;W).$$其中 $S_n(V^n;W)$ 表示从 $V^n$ 到 $W$ 的 $n$ 重对称线性映射.

命题 2.3. 复合映射 ${\Gamma }^n(V)\hookrightarrow T^n(V)\to {\mathrm{Sym}}^n(V)$ 为乘以 $n!$, 其中 ${\Gamma }^n(V)$ 是对称 $n$ 张量, 即 $T^n(V)$ 在对称群 $S_n$ 作用下不动的元素. 特别地, 如 $n!$ 在 $A$ 中可逆, 则它是同构.

命题 2.4.

•	$\mathrm{Sym}$ 与余极限交换. 特别地, $\mathrm{Sym}(V\oplus W)\simeq \mathrm{Sym}(V){\otimes }_A\mathrm{Sym}(W)$.
•	设 $B$ 是 $A$-代数, 则 $\mathrm{Sym}(V){\otimes }_{A}B\simeq \mathrm{Sym}(V{\otimes }_{A}B)$. 特别地, 对 $A$ 乘法子集 $S$, 有 $S^{-1}\mathrm{Sym}(V)\simeq \mathrm{Sym}(S^{-1}V)$.

命题 2.5. 设 $\mathcal{E}$ 是概形 $X=\mathrm{Spec}(A)$ 上的拟凝聚层, $\mathcal{E}=\tilde{M}$, 则它对应的群概形即为 $\mathrm{Spec}(\mathrm{Sym}(M))$. 这是代数–几何对偶的一个例子.

(...)

3例子

•	对 $V=A^{\oplus n}$, $\mathrm{Sym}(V)=A[x_1,\dots ,x_n]$. 此时 ${\mathrm{Sym}}^n(V)$ 即为 $n$ 次齐次多项式构成的模.

4相关概念

•	对称积
•	外代数
•	Weyl 代数

术语翻译

对称代数 • 英文 symmetric algebra • 德文 symmetrische Algebra • 法文 algèbre symétrique