拓扑基

拓扑空间 $X$ 的拓扑基是 $X$ 的一族开集, 使得 $X$ 的所有开集都能从这族开集得到. 利用拓扑基, 我们可以通过更少的信息, 即一部分开集, 来还原出 $X$ 的拓扑.

1定义

定义 1.1 (拓扑基、拓扑亚基). 设 $X$ 是拓扑空间, 设 $\tau$ 是 $X$ 的拓扑, 即所有开集的集合.

•	$X$ 的拓扑基是指一族开集 $B\subset \tau$, 使得 $X$ 的任何开集都能写成 (可能无限个) $B$ 中元素的并. 此时, $B$ 中元素称为基础开集. 也称 $\tau$ 为由 $B$ 生成的拓扑.
•	$X$ 的拓扑亚基是指一族开集 $S\subset \tau$, 使得 $X$ 的任何开集都能写成 $S$ 中元素的有限交的 (可能无限) 并. 此时, $S$ 中元素称为亚基础开集. 也称 $\tau$ 为由 $S$ 生成的拓扑.

2例子

•	下列都是 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Euclid 拓扑的拓扑基: ∘ 所有开球. ∘ 所有以有理点为球心、以有理数为半径的开球. ∘ 所有各边平行于坐标轴的开长方体 (或立方体). ∘ 所有各边平行于坐标轴、以有理点为顶点的开长方体 (或立方体).
•	度量空间的拓扑定义为由所有开球生成的拓扑.
•	全序集上的序拓扑定义为由所有开区间生成的拓扑.

3相关概念

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邻域基

术语翻译

拓扑基 • 英文 base • 德文 Basis (f) • 法文 base (f) • 拉丁文 basis (f) • 古希腊文 βάσις (f)

拓扑亚基 • 英文 subbase • 德文 Subbasis (f) • 法文 sous-base (f) • 拉丁文 subbasis (f) • 古希腊文 ὑπόβασις (f)