p 进数

$\mathbf{p}$ 进数是一种推广的数, 可以写成$$\dots a_2{a}_1{a}_0.a_{-1}\dots a_{-n}$$的小数形式, 这里使用的是 $p$ 进制小数, 其中 $a_i\in \{0,\dots ,p-1\}$. 与实数的小数表示相反, $p$ 进数的左端可以无限延伸, 而右端有限.

$p$ 进数构成一个域 ${\mathbb{Q}}_p$, 它是有理数域 $\mathbb{Q}$ 在 $p$ 进拓扑之下的完备化.

从几何上看, 通过赋值理论的观点, 有理数域可以视为一条曲线, 其上的点是所有的素数和无穷, $p$ 进数是在素数 $p$ 位点的完备化, 描述了一个素数附近的信息, 而实数则是在无穷位点的完备化, 描述了无穷附近的信息.

与实数一样, $p$ 进数也带有完备的拓扑, 故可以谈论 $p$ 进数的分析学, 即 $p$ 进分析.

1定义

通过完备化

定义 1.1. $\mathbf{p}$ 进数域是有理数在 $p$ 进拓扑下的完备化, 这里 $p$ 进拓扑由度量$$d(x,y)=p^{-v_p(x-y)}$$诱导, 这里 $v_p(p^n\cdot \frac{a}{b})=n$, 其中 $a,b$ 与 $p$ 互素. $\mathbf{p}$ 进整数环为整数 $\mathbb{Z}$ 在相应子空间拓扑下的完备化.

$p$ 进数还有多种等价定义, 例如:

•	$p$ 进整数环 ${\mathbb{Z}}_p$ 是整数环 $\mathbb{Z}$ 在理想 $(p)$ 定义的拓扑 (参见$I$ 进拓扑) 下的完备化, $p$ 进数域是它的分式域.
•	$p$ 进整数环是有限域 ${\mathbb{F}}_p$ 的 Witt 环 $W({\mathbb{F}}_p)$. $p$ 进数域是它的分式域.

2性质

$p$ 进数域具有良好的结构和性质.

命题 2.1. $p$ 进数域是完备离散赋值域. 在此赋值下, 其整数环为 $p$ 进整数环 ${\mathbb{Z}}_p$. 原点的一组邻域基为 $\{p^n{\mathbb{Z}}_p{\}}_{n\in \mathbb{N}}$.

命题 2.2. $p$ 进数域的任意有限扩张均为完备离散赋值域.

由 Witt 环的一般理论, 可以得到

命题 2.3. $p$ 进数域中的元素可以唯一表示为$$\sum _{n\gg -\infty }{a}_n{p}^n,a_n\in \{0,1,\dots ,p-1\}.$$(此一级数在 $p$ 进拓扑下收敛).

在普通的实数上的一些操作也可以在 $p$ 进数中进行, 例如可以用无穷级数定义指数函数、对数函数等函数, 并满足与在实数中定义的相应函数类似的性质.

定义 2.4 (指数函数). 对 $x\in p{\mathbb{Z}}_p$ ($p=2$ 时要求 $x\in p^2{\mathbb{Z}}_p$), 无穷级数$$\exp (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$$收敛, 称为指数函数.

定义 2.5 (对数函数). 对 $x\in 1+p{\mathbb{Z}}_p$, 无穷级数$$\log (x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{(x-1{)}^n}{n}$$收敛, 称为对数函数.

则有 $\exp$ 和 $\log$ 是从 $p^2{\mathbb{Z}}_p$ 到 $1+p^2{\mathbb{Z}}_p$ 的互逆映射.

3相关概念

•	局部域
•	$p$ 进域
•	Hensel 引理

术语翻译

$p$ 进数 • 英文 $p$-adic number • 德文 $p$-adische Zahl • 法文 nombre $p$-adique • 拉丁文 numerus $p$-adicus • 古希腊文 $\pi$-αδικὸς ἀριθμός