生成 (群论)

生成是一种构造群的手段, 其大致思想为由较少的一些元素通过群的运算关系, 产生出较大的一个群.

1定义

“生成” 大致分为两种: 通过给定的群中的运算, 通过其某个子集产生一个子群, 即内生成 (1.1); 通过 “万有” 的群运算以及一些约束条件 (关系), 从一个集合 (生成元) 直接构造一个群, 即外生成 (1.4).

内生成

定义 1.1. 对群 $G$ 以及其子集 $S$, 包含 $S$ 的最小子群 $H$ 称为 $S$ 生成的子群, $S$ 称为 $H$ 的一组生成元.

定义 1.2. 对群 $G$ 以及其子集 $S$, 包含 $S$ 的最小正规子群 $H$ 称为 $S$ 生成的正规子群,

外生成

定义 1.3. 对集合 $S$, 其生成的自由群为

•	其下集合$$F_S=\{a_1^{k_1}\dots a_n^{k_n}\mid a_i\in S,k_i\in \mathbb{Z}\}/\sim .$$这里 $a_1^{k_1}\dots a_n^{k_n}$ 是一个可以为空的字符串. 而 $\sim$ 是由下述关系生成的等价关系: $$\begin{array}{rl}P{a}^{0}Q& \sim PQ,\forall a\in S,\\ P{a}^{k_1}{a}^{k_2}Q& \sim P{a}^{k_1+k_2}Q,\forall a\in S.\end{array}$$这里 $P,Q$ 是形如上述的字符串.
•	乘法$$(a_1^{k_1}\dots a_n^{k_n})\cdot (b_1^{l_1}\dots b_m^{l_m})=a_1^{k_1}\dots a_n^{k_n}{b}_1^{l_1}\dots b_m^{l_m}.$$
•	单位元 $e$ 为空字符串.
•	逆元$$(a_1^{k_1}\dots a_n^{k_n}{)}^{-1}=a_n^{-k_n}\dots a_1^{-k_1}.$$

定义 1.4. 对集合 $S$ 以及一由形如$$a_1^{k_1}\dots a_n^{k_n},a_1,\dots ,a_n\in S,k_1,\dots ,k_n\in \mathbb{Z}.$$的字串构成的集合 $T$, $T$ 可视为 $S$ 生成的自由群 $G$ 的子集, 其生成的正规子群 (1.2) 记为 $H$, $G/H$ 称为由生成元 $S$ 与关系 $T=1$ 生成的群. 记作 $⟨S\mid T=1⟩$.

定义 1.5. 对集合 $S$, 令$$T=\{ab{a}^{-1}{b}^{-1}\mid a,b\in S\},$$由生成元 $S$ 与关系 $T=1$ 生成的群称为由 $S$ 生成的自由 Abel 群.

2性质

命题 2.1. 任何群可以作为由一组生成元 $S$ 和一组关系 $T=1$ 生成的群, 其中取$$S=G,T=\{g_1{g}_2(g_1\cdot g_2{)}^{-1}\mid g_1{g}_2\in G\}.$$

3例子

•	在某个群内, 空集 (内) 生成的群为平凡群.
•	在 $S$ 为空集 (从而 $T$ 必为空集) 时, 由生成元 $S$ (外) 生成的群为平凡群.
•	$T$ 为空集时, $S$ 与 $T$ 生成的群为 $S$ 生成的自由群.
•	生成元 $S=\{a\}$ 与关系 $T=\{a^n\}$ ($n\in \mathbb{Z}$, $n\ge 2$) 生成的群为循环群 $⟨a\mid a^n=1⟩=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
•	生成元 $S=\{a,b\}$ 与关系 $T=\{a^2,b^2,(ab{)}^n\}$ ($n\in \mathbb{Z}$, $n\ge 2$) 生成的群为二面体群 $D_n=⟨a,b\mid a^2=b^2=(ab{)}^n=1⟩$, 它是 Coxeter 群的特例.

4相关概念

•	自由群
•	自由 Abel 群
•	Coxeter 群

术语翻译

生成 (动词) • 英文 generate • 德文 erzeugen • 法文 engendrer • 拉丁文 genero • 古希腊文 παράγω