拟阵

维基百科相应条目写的还不错, 可以翻译.

拟阵是一种组合结构, 大致描述一些对象的 “相关性”, 例如向量的线性相关、图中若干边成环、域中元素的代数相关性等等.

1定义

拟阵有多种等价的定义.

定义 1.1 (用独立集). 拟阵是二元组 $(E,\mathcal{I})$, 其中 $E$ 是有限集, 称为底集, $\mathcal{I}$ 是 $E$ 的一族子集, 其中元素称为独立集. 满足以下条件:

(I1)	$\varnothing \in \mathcal{I}$.
(I2)	独立集的子集是独立集.
(I3)	设 $A,B\in \mathcal{I}$, $|A|>|B|$, 则存在 $x\in A$ 使得 $B\cup \{x\}$ 是独立集.

定义 1.2 (用基). 拟阵是二元组 $(E,\mathcal{B})$, 其中 $E$ 是有限集, 称为底集, $\mathcal{B}$ 是 $E$ 的一族子集, 其中元素称为此拟阵的基. 满足以下条件:

(B1)	$\mathcal{B}$ 非空.
(B2)	设 $A,B\in \mathcal{B}$, $a\in A\setminus B$, 则存在 $b\in B$ 使得 $(A\setminus \{a\})\cup \{b\}\in \mathcal{B}$.

定义 1.3 (用秩函数). (...)

定义 1.4 (用闭包算子). (...)

定义 1.5 (用平面). (...)

(...)

2例子

例 2.1 (线性拟阵). 设 $E$ 是向量空间 $V$ 中有限个向量, 则 $E$ 与以下任意一组数据构成拟阵.

•	独立集是所有线性无关的向量组;

•	基是所有构成 $E$ 生成的向量空间的基的 $E$ 的子集;

•	一组向量的秩是它们生成的向量空间的维数;

•	一组向量的闭包是它们生成的向量空间与 $E$ 的交;

•	平面是所有线性子空间与 $E$ 的交.

(...)

此类拟阵称为线性拟阵 (或可表拟阵).

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3基本构造

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4性质

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术语翻译

拟阵 • 英文 matroid • 德文 Matroid (n) • 法文 matroïde (m) • 拉丁文 matroides (n) • 古希腊文 πιναξοειδές (n)