线性无关向量组

在线性代数中, 线性无关向量组是指向量空间中的一组向量, 例如 $(x_1,\dots ,x_n)$, 它们不满足任何非平凡的线性关系. 也就是说, 它们不满足任何形如$$a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=0$$的方程, 其中 $a_1,\dots ,a_n$ 是标量.

不线性无关的向量组称为线性相关的.

1定义

定义 1.1 (线性无关向量组). 设 $k$ 是域, $V$ 是 $k$-向量空间, $I$ 是集合, $(x_i\in V{)}_{i\in I}$ 是一组向量. 称该向量组线性无关, 如果满足以下条件:

•	对任意一组系数 $(a_i\in k{)}_{i\in I}$, 若这些系数中只有有限个非零, 且$$\sum _{i\in I}{a}_i{x}_i=0,$$则所有 $a_i$ 必全为 $0$.

否则, 称这组向量线性相关.

2例子

•	空向量组总是线性无关的. 由一个非零向量构成的向量组也总是线性无关的.

•	在 $k$-向量空间 $V$ 中, 设 $x,y\in V$. 则向量组 $(x,y)$ 线性无关, 当且仅当 $x$ 与 $y$ 不在同一条直线上, 也即不存在 $a\in k$ 使得 $x=ay$ 或 $y=ax$.

•	若一组向量的个数超出向量空间的维数, 则这组向量必线性相关.

3相关概念

•

仿射无关点组

术语翻译

线性无关向量组 • 英文 linearly independent set of vectors • 法文 famille libre

线性无关 (形容词) • 英文 linearly independent • 法文 linéairement indépendant

线性相关向量组 • 英文 linearly dependent set of vectors • 法文 famille liée

线性相关 (形容词) • 英文 linearly dependent • 法文 linéairement dépendant