单调映射

关于微积分学中的相关概念, 请参见 “单调函数”.

在序论中, 单调映射 (也称为保序映射) 是指偏序集或拟序集之间保持序关系的映射.

需要注意, 微积分学中的 “单调函数” 常常包括单调递增、单调递减函数, 即保持或反转序关系的函数. 但在序论中, “单调映射” 常常特指保持序关系的映射.

1定义

定义 1.1 (单调映射). 设 $(X,{\le }_X)$ 与 $(Y,{\le }_Y)$ 为拟序集, $f:X\to Y$ 为集合间映射.

•	称 $f$ 为单调映射 (或保序映射), 若对任意 $x,y\in X$, 满足 $x{\le }_{X}y$, 都有 $f(x){\le }_{Y}f(y)$.

•	称 $f$ 为严格单调映射 (或严格保序映射), 如果 $f$ 是单调映射, 且满足以下条件: ∘ 对任意 $x,y\in X$, 若 $f(x){\le }_{Y}f(y)$ 且 $f(y){\le }_{Y}f(x)$, 则 $x{\le }_{X}y$ 且 $y{\le }_{X}x$. 当 $(X,{\le }_X)$ 与 $(Y,{\le }_Y)$ 都是偏序集时, 上述条件可以简化为: ∘ $f$ 是单射.

2相关概念

术语翻译

单调映射 • 英文 monotone map

严格单调映射 • 英文 strictly monotone map