斜置

斜置将混特征的对象对应于纯特征 $p$ 的对象, 这种对应通常会诱导两类对象之间的等价, 称为斜置等价.

1定义

以下列举出一些常见的斜置.

环

环的斜置将环对应至完美环.

定义 1.1 (斜置). 环 $R$ 的斜置, 记作 $R^{♭}$, 指的是 $R/p$ 的极限完美化, 即$$R^{♭}=\lim (\cdots \to R/p\to R/p),$$这里这些映射都是 Frobenius 同态.

注 1.2. 这个定义非常一般, 但只在 $R$ 完美胚时比较忠实地反映 $R$ 的性质.

环的斜置中元素可以对应于原本的环中元素.

命题 1.3 (正置). 如 $R$ 为 $p$-完备, $a=(\dots ,a_1,a_0)\in R^{♭}$, 对每个 $n$ 任取 $a_n\in R/p$ 的提升 $\widetilde{a_n}\in R$, 则极限$$a^{♯}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\widetilde{a_n}}^{p^n}\in R$$存在, 且不依赖 $\widetilde{a_n}$ 的选取. $a^{♯}$ 称为 $a$ 的正置. 它有另一种描述如下: 考虑往第 $0$ 个坐标的自然投影 $R^{♭}\to R/p$, 用完美环 Witt 环的万有性质它有唯一提升 $\theta :W(R^{♭})\to R$, 这样 $a^{♯}=\theta ([a])$, 其中 $[a]$ 表示 Teichmüller 代表元.

也会谈论完美环本身的正置.

定义 1.4 (正置). 完美环 $S$ 的正置指满足 $(S^{♯}{)}^{♭}=S$ 的完美胚环 $S^{♯}$, 它未必唯一. 可以证明, $S$ 的正置一一对应于完美棱镜 $W(S)$ 中由特异元生成的理想.

完美胚空间

完美胚空间可以斜置为特征 $p$ 的完美胚空间.

定义 1.5. 设 $(R,R^{+})$ 是完美胚 Tate Huber 对, $\varpi \in R^{+}$ 是其伪素元, 满足 ${\varpi }^p\mid p$. 取 ${\varpi }^{♭}\in R^{+♭}$ 使其第 $0$ 个坐标是 $\varpi \mathrm{mod}p$. 令 $R^{♭+}=R^{+♭}$, $R^{♭}=R^{♭+}[1/{\varpi }^{♭}]$, 则 $(R^{♭},R^{♭+})$ 是特征 $p$ 完美胚 Tate Huber 对, 且不依赖 $\varpi$, ${\varpi }^{♭}$ 的选取. 称 $(R^{♭},R^{♭+})$ 为 $(R,R^{+})$ 的斜置.

可以证明 (见斜置等价条目), $\mathrm{Spa}(R,R^{♭})$ 和 $\mathrm{Spa}(R^{♭},R^{♭+})$ 同胚, 由 $x\mapsto (a\mapsto |a^{♯}(x)|)$ 给出. 这样斜置就可以粘合.

定义 1.6. 回忆完美胚空间 $X$ 在局部上是完美胚 Tate Huber 对的进制谱. 于是其斜置, 记作 $X^{♭}$, 定义为其各个局部的斜置的进制谱的粘合.

与环的情形相同, 也可以定义正置的概念.

定义 1.7. 特征 $p$ 完美胚空间 $S$ 的正置指满足 $(S^{♯}{)}^{♭}=S$ 的完美胚空间 $S^{♯}$, 它未必唯一.

进制空间

定义 1.8 (进制空间). 记 $\mathsf{Perf}$ 为所有特征 $p$ 完美胚空间构成的范畴, 进制空间 $X$ 的斜置 $X^{◊}$ 是以下函子: $$\begin{array}{rl}\mathsf{Perf}& \to \mathsf{Set}\\ T\mapsto & \{(T^{♯},T^{♯}\to X)\}.\end{array}$$

如果 $X$ 是解析进制空间, 可以证明 $X^{◊}$ 是钻石. 此时, 这种斜置可以看作之前完美胚空间的斜置的投射平展下降.

2例子

•	特征 $p$ 完美环的斜置显然是其自身. 一般地, 特征 $p$ 环的斜置是其极限完美化.
•	完美胚环 ${\mathbb{Z}}_p^{\text{cycl}}={\left({\bigcup }_{n=0}^{\infty }{\mathbb{Z}}_p[{\zeta }_{p^n}]\right)}_p^{\wedge }$ 的斜置是 ${\mathbb{F}}_p[[t^{p^{-\infty }}]]={\left({\bigcup }_{n=0}^{\infty }{\mathbb{F}}_p[[t^{p^{-n}}]]\right)}_t^{\wedge }$. 这是 $(\phi ,\Gamma )$-模的主要原理.

3性质

4相关概念

术语翻译

斜置 • 英文 tilt • 法文 bascule (f)

正置 • 英文 untilt • 法文 débascule (f)