进制谱

进制谱是 $p$ 进几何中常用的空间局部模型, 大致来说, 它为每个 Huber 对 $(A,A^{+})$ 赋予一个环化空间 $\mathrm{Spa}(A,A^{+})$. 其中, 空间的点是环的 “进制”, 即赋值, 而空间的开集则由赋值的大小来决定.

进制谱统一了形式谱、仿射胚空间等概念, 且相比以上二者更易操作, 也能推广到更一般的环上. 例如, 形式谱 $\mathrm{Spf}({\mathbb{Z}}_p[[T]])$ (在 $(p,T)$ 进拓扑下) 仅含有一个点, 而相应的进制谱 $\mathrm{Spa}({\mathbb{Z}}_p[[T]])$ 则有很丰富的结构; 又如, 由于不存在 $\mathrm{Spf}({\mathbb{Q}}_p)$, 形式谱的一般纤维需要手动定义. 但在进制谱的语境下, 一般纤维则有简洁定义: 进制空间 $X\to \mathrm{Spa}({\mathbb{Z}}_p)$ 的一般纤维就是纤维积 $X{\times }_{\mathrm{Spa}({\mathbb{Z}}_p)}\mathrm{Spa}({\mathbb{Q}}_p)$.

1定义

定义 1.1 (进制谱, 作为集合). Huber 对 $(A,A^{+})$ 的进制谱 $\mathrm{Spa}(A,A^{+})$ 的元素是 $A$ 的所有满足 $|A^{+}|\le 1$ 的连续赋值 $|\cdot |$ 的同构类.

当 $A^{+}=A^{\circ }$ 为 $A$ 中有界元之集时, $\mathrm{Spa}(A,A^{+})$ 通常简记为 $\mathrm{Spa}(A)$.

定义 1.2 (进制谱, 作为拓扑空间). $\mathrm{Spa}(A,A^{+})$ 的拓扑由形如下式的开集生成: $$\{x\in \mathrm{Spa}(A,A^{+})\mid f(x)\le g(x)\ne 0\}.$$这里 $f,g\in A$, $f(x)$ 表示 $f$ 在赋值 $x$ 下的取值.

定义 1.3 (进制谱, 作为环化空间). ...

2例子

3性质

4相关概念

术语翻译

进制谱 • 英文 adic spectrum • 法文 spectre adique • 拉丁文 spectrum adicum • 古希腊文 ἀδικὸν φάσμα